Как нарисовать квадратный график: 10 шагов (с картинками)

2024 Автор: Jason Gerald | [email protected]. Последнее изменение: 2024-02-01 14:15

При графическом представлении квадратное уравнение имеет вид топор² + bx + c или а (х - з)² + к образуют букву U или перевернутую U-образную кривую, называемую параболой. Построение графика квадратного уравнения ищет вершину, направление и часто пересечение x и y. В случаях довольно простых квадратных уравнений может быть достаточно ввода набора значений x и построения кривой на основе полученных точек. См. Шаг 1 ниже, чтобы начать работу.

Шаг

Шаг 1. Определите форму имеющегося у вас квадратного уравнения

Квадратичные уравнения могут быть записаны в трех различных формах: общая форма, форма вершины и квадратичная форма. Вы можете использовать любую форму для построения квадратного уравнения; процесс изображения каждого графика немного отличается. Если вы делаете домашнее задание, вы обычно будете получать вопросы в одной из этих двух форм - другими словами, вы не сможете выбирать, поэтому лучше понимать обе. Двумя формами квадратного уравнения являются:

• Общий вид.

  В таком виде квадратное уравнение записывается как: f (x) = ax² + bx + c, где a, b и c - действительные числа, а a не равно нулю.

  Например, два квадратных уравнения общего вида: f (x) = x² + 2x + 1 и f (x) = 9x² + 10x -8.

• Форма пика.

  В таком виде квадратное уравнение записывается как: f (x) = a (x - h)² + k, где a, h и k - действительные числа, а a не равно нулю. Это называется вершинной формой, потому что h и k немедленно дадут вершину (середину) вашей параболы в точке (h, k).

  Два уравнения вершинной формы: f (x) = 9 (x - 4)² + 18 и -3 (х - 5)² + 1

• Чтобы построить график любого типа уравнения, мы должны сначала найти вершину параболы, которая является средней точкой (h, k) в конце кривой. Координаты пиков в общей форме вычисляются как: h = -b / 2a и k = f (h), в то время как в форме пиков h и k входят в уравнение.

Шаг 2. Определите свои переменные

Чтобы решить квадратную задачу, обычно необходимо определить переменные a, b и c (или a, h и k). Обычная задача алгебры даст квадратное уравнение с доступными переменными, обычно в общей форме, но иногда в форме пика.

• Например, для уравнения общего вида f (x) = 2x² + 16x + 39, имеем a = 2, b = 16 и c = 39.
• Для уравнения формы пика f (x) = 4 (x - 5)² + 12, имеем a = 4, h = 5 и k = 12.

Шаг 3. Вычислить h

В уравнении формы вершины ваше значение h уже задано, но в уравнении общей формы значение h должно быть вычислено. Помните, что для уравнений общего вида h = -b / 2a.

• В нашем примере общей формы (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). После решения находим, что h = - 4.
• В нашем примере формы вершины (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), мы знаем, что h = 5, не выполняя никаких вычислений.

Шаг 4. Вычислить k

Как и h, k уже известен в уравнении формы пика. Для уравнений общего вида помните, что k = f (h). Другими словами, вы можете найти k, заменив все значения x в вашем уравнении только что найденными значениями h.

• Мы уже определили в нашем примере общей формы, что h = -4. Чтобы найти k, мы решаем наше уравнение, подставляя наше значение h вместо x:

  • к = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • к = 2 (16) - 64 + 39.

  • к = 32 - 64 + 39 =

    Шаг 7.

• В нашем примере с пиковой формой мы снова знаем значение k (равное 12) без каких-либо математических вычислений.

Шаг 5. Нарисуйте козырек

Вершиной вашей параболы является точка (h, k) - h представляет координату x, а k представляет координату y. Вершина - это середина вашей параболы - либо внизу буквы U, либо вверху перевернутой буквы U. Знание вершин - важная часть рисования точной параболы - часто в школьной работе определение вершины - это та часть, которую нужно искать в вопросе.

• В нашем примере общей формы наш пик равен (-4, 7). Таким образом, наша парабола завершит 4 шага влево от 0 и 7 шагов выше (0, 0). Мы должны изобразить эту точку на нашем графике, отметив координаты.
• В нашем примере формы вершины наша вершина - это (5, 12). Нам нужно нарисовать точку на 5 шагов вправо и на 12 шагов выше (0, 0).

Шаг 6. Нарисуйте ось параболы (необязательно)

Ось симметрии параболы - это линия, проходящая через ее центр, разделяя ее ровно посередине. На этой оси левая сторона параболы будет отражать правую сторону. Для квадратных уравнений вида ax² + bx + c или a (x - h)² + k, ось симметрии - это линия, параллельная оси y (другими словами, ровно вертикальная) и проходящая через вершину.

В случае нашего примера общей формы ось - это линия, параллельная оси y и проходящая через точку (-4, 7). Несмотря на то, что это не часть параболы, тонкая маркировка этой линии на вашем графике в конечном итоге поможет вам увидеть симметричную форму кривой параболы

Шаг 7. Найдите направление раскрытия параболы

Зная пик и ось параболы, теперь нам нужно знать, открывается ли парабола вверх или вниз. К счастью, это легко. Если значение a положительное, парабола откроется вверх, тогда как если значение a отрицательное, парабола откроется вниз (т. Е. Парабола будет перевернута).

• Для нашего примера общей формы (f (x) = 2x² + 16x + 39), мы знаем, что у нас есть раскрывающаяся парабола, потому что в нашем уравнении a = 2 (положительное).
• Для нашего примера формы вершины (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), мы знаем, что у нас также есть раскрывающаяся парабола, потому что a = 4 (положительное).

Шаг 8. При необходимости найдите и начертите точку пересечения с координатой x

Часто в школьной работе вас просят найти точку пересечения с осью x в параболе (это одна или две точки, где парабола пересекает ось x). Даже если вы не найдете ни одной, эти две точки очень важны для построения точной параболы. Однако не все параболы имеют точку пересечения по оси x. Если ваша парабола имеет вершину, которая открывается, и ее вершина находится выше оси x, или если она открывается вниз, а ее вершина находится ниже оси x, парабола не будет пересекаться по оси x. В противном случае решите x-точку пересечения одним из следующих способов:

• Просто сделайте f (x) = 0 и решите уравнение. Этот метод можно использовать для простых квадратных уравнений, особенно в форме пика, но он будет очень трудным для сложных уравнений. См. Пример ниже

  • е (х) = 4 (х - 12)² - 4
  • 0 = 4 (х - 12)² - 4
  • 4 = 4 (х - 12)²
  • 1 = (х - 12)²
  • Корень (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = х -12. х = 11 и 13 - точка пересечения с параболой по оси x.

• Факторизуйте свое уравнение. Некоторые уравнения в виде топора² + bx + c легко разложить на множители (dx + e) (fx + g), где dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx и e × g = c. В этом случае ваши x-перехватчики - это значения x, которые сделают любой член в круглых скобках = 0. Например:

  • Икс² + 2x + 1
  • = (х + 1) (х + 1)
  • В этом случае ваш единственный x-перехватчик равен -1, потому что если сделать x равным -1, любой член множителя в круглых скобках будет равен 0.

• Воспользуйтесь формулой корней квадратного уравнения. Если вы не можете легко решить точку пересечения по оси x или разложить уравнение на множители, используйте специальное уравнение, называемое квадратной формулой, которое было создано для этой цели. Если это еще не решено, преобразуйте уравнение в форму ax² + bx + c, затем введите a, b и c в формулу x = (-b +/- sqrt (b)² - 4ац)) / 2а. Обратите внимание, что этот метод часто дает вам два ответа для значения x, что нормально - это просто означает, что ваша парабола имеет два пересечения с x. См. Пример ниже:

  • -5x² + 1x + 10 помещается в формулу корней квадратного уравнения следующим образом:
  • x = (-1 +/- Корень (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- корень (1 + 200)) / - 10
  • x = (-1 +/- корень (201)) / - 10
  • х = (-1 +/- 14, 18) / - 10
  • х = (13, 18 / -10) и (-15, 18 / -10). Х-точка пересечения параболы равна x = - 1, 318 а также 1, 518
  • Наш предыдущий пример общей формы, 2x² + 16x + 39 помещается в формулу корней квадратного уравнения следующим образом:
  • x = (-16 +/- корень (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- корень (256 - 312)) / 4
  • x = (-16 +/- корень (-56) / - 10
  • Поскольку невозможно найти квадратный корень из отрицательного числа, мы знаем, что эта парабола не имеет пересечения по оси x.

Шаг 9. При необходимости найдите и начертите точку пересечения оси y

Хотя часто нет необходимости искать точку пересечения оси y в уравнениях (точка, где парабола проходит через ось y), в конечном итоге вам, возможно, придется ее найти, особенно если вы учитесь в школе. Процесс довольно прост - просто сделайте x = 0, а затем решите уравнение для f (x) или y, которое дает значение y в том месте, где парабола проходит через ось y. В отличие от точки пересечения по оси x, обычная парабола может иметь только одну точку пересечения по оси y. Примечание. Для уравнений общего вида точка пересечения оси y находится в точке y = c.

• Например, мы знаем, что наше квадратное уравнение равно 2x² + 16x + 39 имеет точку пересечения по оси y при y = 39, но его также можно найти следующим образом:

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (х) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Пересечение параболы по оси y находится в точке у = 39.

    Как отмечалось выше, точка пересечения по оси y находится в точке y = c.

• Форма нашего вершинного уравнения - 4 (x - 5)² + 12 имеет точку пересечения по оси Y, которую можно найти следующим образом:

  • е (х) = 4 (х - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0-5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • е (х) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Пересечение параболы по оси y находится на у = 112.

Шаг 10. При необходимости нарисуйте дополнительные точки, затем нарисуйте график

Теперь у вас есть вершина, направление, точка пересечения по оси x и, возможно, точка пересечения по оси Y в вашем уравнении. На этом этапе вы можете попытаться нарисовать свою параболу, используя точки, которые у вас есть в качестве ориентира, или найти другие точки, чтобы заполнить вашу параболу, чтобы кривая, которую вы рисуете, была более точной. Самый простой способ сделать это - просто ввести некоторые значения x с любой стороны вершины, а затем построить эти точки, используя полученные значения y. Часто учителя просят вас найти несколько точек, прежде чем рисовать параболу.

• Рассмотрим уравнение x² + 2x + 1. Мы уже знаем, что точка пересечения с x находится только при x = -1. Поскольку кривая касается точки пересечения по оси x только в одной точке, мы можем заключить, что вершина является точкой пересечения с точкой x, что означает, что вершина равна (-1, 0). Фактически у нас есть только одна точка для этой параболы - недостаточно, чтобы нарисовать хорошую параболу. Давайте поищем еще несколько моментов, чтобы убедиться, что мы построим подробный график.

  • Давайте найдем значения y для следующих значений x: 0, 1, -2 и -3.
  • Для 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Наша точка (0, 1).

  • Для 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Наша точка (1, 4).

  • Для -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Наша точка (-2, 1).

  • Для -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Наша точка (-3, 4).

  • Нарисуйте эти точки на графике и нарисуйте U-образную кривую. Обратите внимание, что парабола совершенно симметрична - когда ваши точки на одной стороне параболы являются целыми числами, вы обычно можете уменьшить работу простого отражения данной точки на оси симметрии параболы, чтобы найти ту же точку на другой стороне параболы..

подсказки

• Округлите числа или используйте дроби по просьбе учителя алгебры. Это поможет вам лучше построить квадратное уравнение.
• Обратите внимание, что в f (x) = ax² + bx + c, если b или c равно нулю, эти числа исчезнут. Например, 12x² + 0x + 6 становится 12x² + 6, потому что 0x равно 0.