3 способа множить трехчлен

2024 Автор: Jason Gerald | [email protected]. Последнее изменение: 2024-01-15 08:22

Трехчлен - это алгебраическое выражение, состоящее из трех членов. Скорее всего, вы начнете учиться разложить квадратный трехчлен на множители, то есть трехчлен, записанный в форме ax² + bx + c. Есть несколько приемов, которые нужно изучить, которые можно использовать для многих различных типов квадратичных трехчленов, но вы сможете использовать их лучше и быстрее с практикой. Многочлены высшего порядка с такими членами, как x³ или х⁴, не всегда можно решить одним и тем же способом, но вы можете часто использовать простой факторинг или замену, чтобы превратить его в проблему, которую можно решить, как и любую другую квадратную формулу.

Шаг

Метод 1 из 3: Факторинг x² + bx + c

Шаг 1. Изучите умножение PLDT

Возможно, вы научились умножать PLDT или «Первый, Внешний, В, Последний» для умножения таких выражений, как (x + 2) (x + 4). Прежде чем разложить на множители, полезно знать, как работает это умножение:

Умножайте племена Первый: (Икс+2)(Икс+4) = Икс² + _
Умножайте племена Вне: (Икс+2) (х +

Шаг 4.) = х²+ 4x + _
Умножайте племена В: (x +

Шаг 2.)(Икс+4) = х²+ 4x + 2x + _
Умножайте племена Финал: (x +

Шаг 2.)(Икс

Шаг 4.) = х²+ 4x + 2x

Шаг 8.
Упростить: x²+ 4х + 2х + 8 = х²+ 6x + 8

Шаг 2. Разберитесь в факторинге

Когда вы умножаете два бинома с помощью метода PLDT, вы получаете трехчлен (выражение с тремя членами) в форме a x²+ b x + c, где a, b и c - обычные числа. Если вы начнете с уравнения, имеющего ту же форму, вы можете разложить его на два бинома.

Если уравнения написаны не в этом порядке, переставьте уравнения так, чтобы они имели этот порядок. Например, перепишите 3х - 10 + х² Становится Икс² + 3x - 10.
Поскольку наибольшая степень равна 2 (x², этот тип выражения называется квадратичным.

Шаг 3. Оставьте пустое место для ответа в виде умножения PLDT

А пока просто напишите (_ _)(_ _) где напишешь ответ. Заливаем в процессе работы

Не пишите + или - между пустыми терминами, потому что мы еще не знаем правильный знак

Шаг 4. Заполните первые термины

Для простых задач первый член вашего трехчлена равен x², термины в первой позиции всегда Икс а также Икс. Это факторы члена x² потому что x умножить на x = x².

Наш пример x² + 3x - 10 начиная с x², поэтому мы можем написать:
(х _) (х _)
В следующем разделе мы будем работать над более сложными задачами, включая трехчлены, начинающиеся с таких терминов, как 6x² или -x². А пока следуйте этим образцам вопросов.

Шаг 5. Используйте факторинг, чтобы угадать Последние условия

Если вы вернетесь и прочтете шаги для умножения PLDT, вы увидите, что умножение последних членов даст последний член в полиноме (члены, у которых нет x). Итак, чтобы разложить на множители, мы должны найти два числа, умножение которых даст последний член.

В нашем примере x² + 3x - 10, последний член -10.
Какие множители -10? Какое число умножается на -10?
Есть несколько возможностей: -1 раз 10, 1 раз -10, -2 раза 5 или 2 раза -5. Запишите эти пары где-нибудь, чтобы запомнить их.
Не меняйте пока наш ответ. Наш ответ по-прежнему должен выглядеть так: (х _) (х _).

Шаг 6. Проверьте возможности, соответствующие внешнему и внутреннему продукту

Мы сузили последние термины до нескольких возможностей. Используйте пробную систему, чтобы проверить каждую возможность, умножая внешние и внутренние члены и сравнивая произведение с нашим трехчленом. Например:

В нашей исходной задаче термин «x» был равен 3x, поэтому результаты наших тестов должны совпадать с этим термином.
Тесты -1 и 10: (x-1) (x + 10). Снаружи + Внутри = 10x - x = 9x. Неправильный.
Тесты 1 и -10: (x + 1) (x-10). -10x + x = -9x. Это не правильно. Фактически, если вы проверите -1 и 10, вы обнаружите, что 1 и -10 противоположны приведенному выше ответу: -9x вместо 9x.
Тесты -2 и 5: (x-2) (x + 5). 5х - 2х = 3х. Результат соответствует исходному многочлену, поэтому вот правильный ответ: (х-2) (х + 5).
В таких простых случаях, как этот, если у вас нет константы перед членом x², вы можете использовать быстрый способ: просто сложите два множителя и поставьте после них «x» (-2 + 5 → 3x). Однако для более сложных задач этот метод не работает, поэтому лучше помнить о «долгом пути», описанном выше.

Метод 2 из 3: разложение на множители более сложных трехчленов

Шаг 1. Используйте простой факторинг, чтобы упростить более сложные задачи

Например, вы должны учитывать 3x² + 9x - 30. Найдите число, которое может разложить на множители все три члена («наибольший общий множитель» или GCF). В этом случае GCF равен 3:

3x² = (3) (x²)
9x = (3) (3x)
-30 = (3)(-10)
Таким образом, 3x² + 9x - 30 = (3) (x²+ 3x-10). Мы можем вычленить новый трехчлен, используя шаги, описанные в разделе выше. Наш окончательный ответ будет (3) (х-2) (х + 5).

Шаг 2. Ищите более усложняющие факторы

Иногда факторинг может включать переменную, или вам может потребоваться несколько раз разложить на множители, чтобы найти простейшее возможное выражение. Вот некоторые примеры:

2x²у + 14xy + 24y = (2 года)(Икс² + 7x + 12)
Икс⁴ + 11x³ - 26x² = (Икс²)(Икс² + 11x - 26)
-Икс² + 6x - 9 = (-1)(Икс² - 6x + 9)
Не забудьте провести рефакторинг нового трехчлена, выполнив действия, описанные в методе 1. Проверьте свою работу и поищите примеры аналогичных проблем в образцах вопросов внизу этой страницы.

Шаг 3. Решите задачи с числом перед x.².

Некоторые квадратичные трехчлены нельзя свести к простейшей задаче. Узнайте, как решать такие проблемы, как 3x² + 10x + 8, затем потренируйтесь самостоятельно, задав типовые вопросы внизу этой страницы:

Задайте наш ответ: (_ _)(_ _)
Каждый из наших "первых" членов будет иметь по одному x, и их умножение дает 3x². Есть только одна возможность: (3x _) (x _).
Перечислите множители 8. Шансы: 1 умножить на 8 или 2 умножить на 4.
Проверьте эту возможность, используя Внешний и Внутренний термины. Обратите внимание, что порядок факторов очень важен, потому что внешний член умножается на 3x вместо x. Попробуйте все возможности, пока не получите Out + In = 10x (из исходной задачи):
(3x + 1) (x + 8) → 24x + x = 25x нет
(3x + 8) (x + 1) → 3x + 8x = 11x нет
(3x + 2) (x + 4) → 12x + 2x = 14x нет
(3x + 4) (x + 2) → 6x + 4x = 10x да. Это правильный фактор.

Шаг 4. Используйте замену для трехчленов более высокого порядка

Ваш учебник по математике может удивить вас уравнениями с высокой степенью, например x⁴, даже после того, как вы воспользуетесь простым факторингом, чтобы упростить задачу. Попробуйте подставить новую переменную, которая превратит ее в проблему, которую вы знаете, как решить. Например:

Икс⁵+ 13x³+ 36x
= (х) (х⁴+ 13x²+36)
Создадим новую переменную. Скажем y = x² и вставьте в него:
(х) (у²+ 13лет + 36)
= (х) (у + 9) (у + 4). Теперь преобразуйте его обратно в исходную переменную:
= (х) (х²+9) (х²+4)
= (х) (х ± 3) (х ± 2)

Метод 3 из 3: особые случаи с учетом факторинга

Шаг 1. Найдите простые числа

Посмотрите, является ли константа в первом или третьем члене трехчлена простым числом. Простое число делится только на себя и 1, поэтому возможна только одна пара биномиальных множителей.

Например, в x² + 6x + 5, 5 - простое число, поэтому бином должен иметь форму (_ 5) (_ 1).
В проблеме 3х²+ 10x + 8, 3 - простое число, поэтому бином должен иметь вид (3x _) (x _).
По вопросам 3x²+ 4x + 1, и 3, и 1 - простые числа, поэтому единственное возможное решение - (3x + 1) (x + 1). (Вам все равно следует умножить это число, чтобы проверить свой ответ, потому что некоторые выражения вообще нельзя разложить на множители - например, 3x²+ 100x + 1 не имеет множителя.)

Шаг 2. Узнайте, является ли трехчлен идеальным квадратом

Трехчлен полного квадрата можно разложить на два идентичных бинома, и множитель обычно записывается как (x + 1)² а не (x + 1) (x + 1). Вот несколько примеров, которые часто встречаются в вопросах:

Икс²+ 2x + 1 = (x + 1)², и x²-2x + 1 = (х-1)²
Икс²+ 4х + 4 = (х + 2)², и x²-4x + 4 = (х-2)²
Икс²+ 6х + 9 = (х + 3)², и x²-6x + 9 = (х-3)²
Полный квадрат трехчлена в виде a x² + bx + c всегда имеет члены a и c, которые являются положительными точными квадратами (например, 1, 4, 9, 16 или 25), и один член b (положительный или отрицательный), который равен 2 (√a * √c).

Шаг 3. Выясните, не имеет ли проблема решения

Не все трехчлены можно разложить на множители. Если вы не можете разложить квадратный трехчлен (ax²+ bx + c), используйте формулу корней квадратного уравнения, чтобы найти ответ. Если единственный ответ - квадратный корень из отрицательного числа, решение с действительными числами отсутствует, значит, у проблемы нет факторов.

Для неквадратных трехчленов используйте критерий Эйзенштейна, который описан в разделе «Советы»

Ответы и примеры вопросов

Ответы на вопросы «сложного факторинга».

Это вопросы из шага «более сложные факторы». Мы упростили проблемы до более простых, поэтому попробуйте решить их, используя шаги из метода 1, а затем проверьте свою работу здесь:
- (2у) (х² + 7x + 12) = (х + 3) (х + 4)
- (Икс²)(Икс² + 11x - 26) = (х + 13) (х-2)
- (-1) (х² - 6х + 9) = (х-3) (х-3) = (х-3)²
Попробуйте более сложные задачи факторинга.

Эти проблемы имеют один и тот же фактор в каждом термине, который необходимо учитывать в первую очередь. Заблокируйте пробелы после знака равенства, чтобы увидеть ответы и проверить свою работу:
- 3x³+ 3x²-6x = (3x) (x + 2) (x-1) заблокировать пробел, чтобы увидеть ответ
- -5x³у²+ 30x²у²-25лет²х = (-5xy ^ 2) (х-5) (х-1)
Практикуйтесь в использовании вопросов. Эти проблемы нельзя разложить на более простые уравнения, поэтому вам придется найти ответ в форме (_x + _) (_ x + _) методом проб и ошибок:
- 2x²+ 3x-5 = (2x + 5) (x-1) блок, чтобы увидеть ответ
- 9x²+ 6x + 1 = (3x + 1) (3x + 1) = (3x + 1)² (Подсказка: вы можете попробовать более одной пары факторов для 9x.)
подсказки
- Если вы не можете понять, как разложить квадратный трехчлен (ось²+ bx + c), вы можете использовать формулу корней квадратного уравнения, чтобы найти x.
- Хотя вам не нужно знать, как это сделать, вы можете использовать критерии Эйзенштейна, чтобы быстро определить, нельзя ли упростить и разложить полином на множители. Этот критерий применяется к любому многочлену, но лучше всего его использовать для трехчленов. Если существует простое число p, которое делит два последних члена равномерно и удовлетворяет следующим условиям, то полином нельзя упростить:
  - Постоянные члены (без переменных) кратны p, но не кратны p².
  - Префикс (например, a в ax²+ bx + c) не делится на p.
  - Например, 14x² + 45x +51 нельзя упростить, потому что существует простое число (3), которое может делиться как на 45, так и на 51, но не делиться на 14, а 51 не делится на 3².
Предупреждение

Хотя это верно для квадратичных трехчленов, трехчлен, который можно разложить на множители, не обязательно является произведением двух двучленов. Например, x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2) (x² - 5х + 23).