Многочлен содержит переменную (x) со степенью, известной как степень, и несколько членов и / или констант. Разложение полинома на множители означает разбиение уравнения на более простые уравнения, которые можно перемножать. Этот навык находится в Алгебре 1 и выше, и его может быть трудно понять, если ваши математические навыки не на этом уровне.
Шаг
Начинать
Шаг 1. Составьте уравнение
Стандартный формат квадратного уравнения:
топор2 + bx + c = 0
Начните с упорядочивания членов в вашем уравнении от наибольшей к наименьшей степени, как в этом стандартном формате. Например:
6 + 6x2 + 13x = 0
Мы изменим порядок этого уравнения, чтобы с ним было легче работать, просто переместив члены:
6x2 + 13x + 6 = 0
Шаг 2. Определите форм-фактор одним из следующих способов
Разложение полинома на множители приводит к двум более простым уравнениям, которые можно умножить, чтобы получить исходный полином:
6x2 + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
В этом примере (2x + 3) и (3x + 2) являются множителями исходного уравнения, 6x2 + 13x + 6.
Шаг 3. Проверьте свою работу
Умножьте имеющиеся у вас множители. Затем объедините похожие термины, и все готово. Начнем с:
(2x + 3) (3x + 2)
Попробуем перемножить члены с помощью PLDT (первый - снаружи - внутри - последний), в результате получится:
6x2 + 4x + 9x + 6
Отсюда мы можем сложить 4x и 9x, потому что они похожи на термины. Мы знаем, что наши множители верны, потому что получаем наше исходное уравнение:
6x2 + 13x + 6
Метод 1 из 6: Метод проб и ошибок
Если у вас есть довольно простой многочлен, вы можете сами найти множители, просто взглянув на них. Например, после практики многие математики могут понять, что уравнение 4x2 + 4x + 1 имеет множитель (2x + 1) и (2x + 1), просто глядя на него часто. (Это, конечно, будет непросто для более сложных многочленов). В этом примере давайте воспользуемся менее часто используемым уравнением:
3x2 + 2x - 8
Шаг 1. Напишите список факторов условия a и c
Использование формата уравнения топора2 + bx + c = 0, определите термины a и c и запишите множители, которые имеют оба термина. Для 3х2 + 2x - 8, что означает:
a = 3 и имеет набор факторов: 1 * 3
c = -8 и имеет четыре набора факторов: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 и -1 * 8.
Шаг 2. Запишите две пары скобок с пробелами
Вы заполните пустые поля константами для каждого уравнения:
(х) (х)
Шаг 3. Заполните пропуски перед x, указав возможные пары множителей для значения a
Для члена a в нашем примере 3x2, в нашем примере есть только одна возможность:
(3x) (1x)
Шаг 4. Заполните два пробела после x парами множителей для константы
Допустим, мы выбрали 8 и 1. Напишите в них:
(3x
Шаг 8.)(
Шаг 1
Шаг 5. Найдите знак (плюс или минус) между переменной x и числом
В зависимости от знаков в исходном уравнении может быть возможным поиск знаков для констант. Предположим, мы называем две константы h и k для наших двух факторов:
Если топор2 + bx + c, тогда (x + h) (x + k)
Если топор2 - bx - c или топор2 + bx - c, тогда (x - h) (x + k)
Если топор2 - bx + c, тогда (x - h) (x - k)
В нашем примере 3x2 + 2x - 8, знаки следующие: (x - h) (x + k), что дает нам два множителя:
(3x + 8) и (x - 1)
Шаг 6. Проверьте свой выбор, используя умножение по первому закону (PLDT)
Первый быстрый тест - проверить, имеет ли средний член хотя бы правильное значение. Если нет, возможно, вы выбрали неверный c-фактор. Проверим наш ответ:
(3x + 8) (x - 1)
Путем умножения получаем:
3x2 - 3х + 8х - 8
Упростив это уравнение, добавив одинаковые члены (-3x) и (8x), мы получим:
3x2 - 3x + 8x - 8 = 3x2 + 5x - 8
Теперь мы знаем, что, должно быть, использовали неправильные факторы:
3x2 + 5x - 8 3x2 + 2x - 8
Шаг 7. При необходимости измените свой выбор
В нашем примере давайте попробуем 2 и 4 вместо 1 и 8:
(3x + 2) (x - 4)
Теперь наш член c равен -8, но наши внешние / внутренние произведения (3x * -4) и (2 * x) равны -12x и 2x, что вместе не даст правильного члена b + 2x.
-12x + 2x = 10x
10x 2x
Шаг 8. При необходимости измените порядок
Попробуем поменять местами 2 и 4:
(3x + 4) (x - 2)
Теперь наш член c (4 * 2 = 8) правильный, но внешнее / внутреннее произведение равно -6x и 4x. Если их объединить:
-6x + 4x = 2x
2x -2x Мы довольно близки к 2x, которые мы ищем, но знак неправильный.
Шаг 9. Еще раз проверьте свои теги, если необходимо
Мы будем использовать тот же порядок, но поменять местами уравнения со знаком минус:
(3x - 4) (x + 2)
Теперь член c не представляет проблемы, и текущее внешнее / внутреннее произведение равно (6x) и (-4x). Потому что:
6x - 4x = 2x
2x = 2x Теперь мы можем использовать положительное значение 2x из исходной задачи. Это должны быть правильные факторы.
Метод 2 из 6: разложение
Этот метод определит все возможные факторы терминов a и c и использует их для поиска правильных факторов. Если числа слишком велики или угадывание занимает много времени, используйте этот метод. Возьмем пример:
6x2 + 13x + 6
Шаг 1. Умножьте член a на член c
В этом примере a равно 6, а c также равно 6.
6 * 6 = 36
Шаг 2. Получите член b путем факторинга и тестирования
Мы ищем два числа, которые являются факторами продукта a * c, которые мы определили, а также суммируются с членом b (13).
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Шаг 3. Подставьте два числа, которые вы получите в уравнение в результате добавления члена b
Давайте использовать k и h для представления двух чисел, которые у нас есть, 4 и 9:
топор2 + kx + hx + c
6x2 + 4x + 9x + 6
Шаг 4. Разложите полином на множители путем группирования
Составьте уравнения так, чтобы вы могли взять наибольший общий делитель как первого, так и второго членов. Группа факторов должна быть одинаковой. Добавьте наибольший общий фактор и поместите его в скобки рядом с группой факторов; результат - это два ваших фактора:
6x2 + 4x + 9x + 6
2х (3х + 2) + 3 (3х + 2)
(2x + 3) (3x + 2)
Метод 3 из 6: тройная игра
Подобно методу разложения, метод тройной игры исследует возможные факторы умножения членов a и c и использования значения b. Попробуйте использовать это примерное уравнение:
8x2 + 10x + 2
Шаг 1. Умножьте член a на член c
Как и метод синтаксического анализа, это поможет нам определить кандидатов на термин b. В этом примере a равно 8, а c равно 2.
8 * 2 = 16
Шаг 2. Найдите два числа, которые при умножении на числа дают это число с общей суммой, равной члену b
Этот шаг аналогичен синтаксическому анализу - мы проверяем и отбрасываем кандидатов в константу. Произведение членов a и c равно 16, а член c равно 10:
2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Шаг 3. Возьмите эти два числа и проверьте их, подставив их в формулу Triple Play
Возьмите наши два числа из предыдущего шага - назовем их h и k - и вставьте их в уравнение:
((ах + ч) (ах + к)) / а
Мы получим:
((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Шаг 4. Обратите внимание, делится ли какой-либо из двух членов числителя на a
В этом примере мы видели, делится ли (8x + 8) или (8x + 2) на 8. (8x + 8) делится на 8, поэтому мы разделим этот член на a и оставим другие множители в покое.
(8x + 8) = 8 (x + 1)
Термин в скобках здесь - это то, что остается после того, как мы разделим на термин a.
Шаг 5. Возьмите наибольший общий множитель (GCF) одного или обоих членов, если они есть
В этом примере второй член имеет ОКФ 2, потому что 8x + 2 = 2 (4x + 1). Объедините этот результат с термином, полученным на предыдущем шаге. Это факторы в вашем уравнении.
2 (х + 1) (4x + 1)
Метод 4 из 6: разница в квадратных корнях
Некоторые коэффициенты в полиномах могут быть «квадратами» или произведением двух чисел. Идентификация этих квадратов позволяет быстрее разложить несколько полиномов на множители. Попробуйте это уравнение:
27x2 - 12 = 0
Шаг 1. Если возможно, исключите наибольший общий фактор
В этом случае мы видим, что 27 и 12 делятся на 3, поэтому получаем:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4)
Шаг 2. Определите, являются ли коэффициенты вашего уравнения квадратными числами
Чтобы использовать этот метод, вы должны уметь извлекать квадратный корень из обоих терминов. (Обратите внимание, что мы проигнорируем отрицательный знак - поскольку эти числа являются квадратами, они могут быть произведением двух положительных или отрицательных чисел)
9x2 = 3x * 3x и 4 = 2 * 2
Шаг 3. Используя полученный квадратный корень, запишите множители
Мы возьмем значения a и c из нашего шага выше - a = 9 и c = 4, а затем найдем квадратный корень - a = 3 и c = 2. Результатом будет коэффициент факторного уравнения:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
Метод 5 из 6: квадратная формула
Если ничего не помогает и уравнение не может быть разложено на множители, используйте формулу корней квадратного уравнения. Попробуйте этот пример:
Икс2 + 4x + 1 = 0
Шаг 1. Введите требуемые значения в формулу корней квадратного уравнения:
х = -b ± (b2 - 4ac)
2а
Получаем уравнение:
х = -4 ± (42 - 4•1•1) / 2
Шаг 2. Найдите значение x
Вы получите два значения. Как показано выше, мы получаем два ответа:
x = -2 + (3) или x = -2 - (3)
Шаг 3. Используйте значение x, чтобы найти факторы
Подставьте полученные значения x в два полиномиальных уравнения как константы. Результат - ваши факторы. Если мы назовем наши ответы h и k, мы запишем два фактора следующим образом:
(х - з) (х - к)
В этом примере наш окончательный ответ:
(x - (-2 + (3)) (x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3)) (x + 2 + (3))
Метод 6 из 6. Использование калькулятора
Если вам разрешено использовать калькулятор, графический калькулятор значительно упростит процесс факторинга, особенно для стандартизированных тестов. Эти инструкции предназначены для графического калькулятора TI. Мы будем использовать пример уравнения:
у = х2 х 2
Шаг 1. Введите уравнение в калькулятор
Вы воспользуетесь факторизацией уравнения, которое написано на экране [Y =].
Шаг 2. Составьте график уравнения с помощью калькулятора
Когда вы ввели свое уравнение, нажмите [ГРАФИК] - вы увидите плавную кривую, которая представляет ваше уравнение (и форма является кривой, потому что мы используем многочлены).
Шаг 3. Найдите место, где кривая пересекается с осью x
Поскольку полиномиальные уравнения обычно записываются как ax2 + bx + c = 0, это пересечение является вторым значением x, которое приводит к нулевому уравнению:
(-1, 0), (2, 0)
х = -1, х = 2
Если вы не можете определить, где график пересекается с осью x, глядя на него, нажмите [2nd], а затем [TRACE]. Нажмите [2] или выберите ноль. Переместите курсор влево от перекрестка и нажмите [ENTER]. Переместите курсор вправо от перекрестка и нажмите [ENTER]. Переместите курсор как можно ближе к перекрестку и нажмите [ENTER]. Калькулятор найдет значение x. Сделайте то же самое и для других перекрестков
Шаг 4. Подставьте значение x, полученное на предыдущем шаге, в двухфакторное уравнение
Если бы мы назвали оба наших значения x h и k, мы бы использовали следующие уравнения:
(х - з) (х - к) = 0
Таким образом, нашими двумя факторами являются:
(х - (-1)) (х - 2) = (х + 1) (х - 2)
подсказки
- Если у вас есть калькулятор TI-84 (график), есть программа под названием SOLVER, которая решит ваши квадратные уравнения. Эта программа решит многочлены любой степени.
- Если член не записан, коэффициент равен 0. В этом случае полезно переписать уравнение, например: x2 + 6 = х2 + 0x + 6.
- Если вы разложили свой многочлен на множители с помощью формулы квадратичного уравнения и получили ответ в виде корней, возможно, вы захотите преобразовать значение x в дробь для проверки.
- Если термин не имеет записанного коэффициента, коэффициент равен 1, например: x2 = 1x2.
- После достаточной практики вы, в конце концов, сможете мысленно разложить многочлены на множители. Пока вы не сможете это сделать, обязательно записывайте инструкции.
