В «системе уравнений» вас просят решить два или более уравнений одновременно. Когда два уравнения имеют две разные переменные, например x и y, решение сначала может показаться трудным. К счастью, когда вы знаете, что вам нужно делать, вы можете просто использовать свои алгебраические навыки (и науку о вычислении дробей) для решения проблемы. Также научитесь рисовать эти два уравнения, если вы визуально обучаетесь или вам это требует учитель. Рисунки помогут вам определить предмет или проверить результаты вашей работы. Однако этот метод медленнее, чем другие методы, и не может использоваться для всех систем уравнений.
Шаг
Метод 1 из 3: Использование метода подстановки
Шаг 1. Переместите переменные в противоположную часть уравнения
Метод подстановки начинается с «нахождения значения x» (или любой другой переменной) в одном из уравнений. Например, скажем, уравнение задачи: 4х + 2у = 8 а также 5х + 3у = 9. Начните с работы над первым уравнением. Переставьте уравнение, вычтя 2y с обеих сторон. Таким образом, вы получаете 4x = 8 - 2 года.
В конце этого метода часто используются дроби. Если вам не нравится считать дроби, попробуйте метод исключения ниже
Шаг 2. Разделите обе части уравнения, чтобы «найти значение x»
Как только член x (или любая другая переменная, которую вы используете) находится только на одной стороне уравнения, разделите обе стороны уравнения на коэффициенты, чтобы осталась только переменная. В качестве примера:
- 4x = 8 - 2 года
- (4x) / 4 = (8/4) - (2y / 4)
- х = 2 - у
Шаг 3. Вставьте значение x из первого уравнения во второе уравнение
Убедитесь, что вы подключили его ко второму уравнению, а не к тому, над которым вы только что работали. Подставьте (замените) переменную x во второе уравнение. Таким образом, второе уравнение теперь имеет только одну переменную. В качестве примера:
- Известен х = 2 - у.
- Ваше второе уравнение 5х + 3у = 9.
- После замены переменной x во втором уравнении на значение x из первого уравнения, мы получаем «2 - y»: 5 (2 - у) + 3у = 9.
Шаг 4. Решите оставшиеся переменные
Теперь в вашем уравнении есть только одна переменная. Вычислите уравнение с помощью обычных алгебраических операций, чтобы найти значение переменной. Если две переменные компенсируют друг друга, переходите сразу к последнему шагу. В противном случае вы получите значение одной из переменных:
- 5 (2 - у) + 3у = 9
- 10 - (5/2) у + 3у = 9
- 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Если вы не понимаете этот шаг, узнайте, как складывать дроби.)
- 10 + у = 9
- у = -1
- у = -2
Шаг 5. Используйте полученный ответ, чтобы найти истинное значение x в первом уравнении
Не останавливайтесь только потому, что ваши расчеты еще не сделаны. Вы должны подставить полученный ответ в первое уравнение, чтобы найти значения остальных переменных:
- Известен у = -2
- Одно из уравнений в первом уравнении: 4х + 2у = 8. (Вы можете использовать любой из них.)
- Замените переменную y на -2: 4х + 2 (-2) = 8.
- 4х - 4 = 8
- 4x = 12
- х = 3
Шаг 6. Знайте, что делать, если две переменные уравновешивают друг друга
Когда вы входите х = 3у + 2 или аналогичный ответ на второе уравнение, то есть вы пытаетесь получить уравнение, которое имеет только одну переменную. Иногда вы просто получаете уравнение без Переменная. Дважды проверьте свою работу и убедитесь, что вы поместили (переупорядочили) уравнение один в уравнение два, вместо того, чтобы возвращаться к первому уравнению. Если вы уверены, что не сделали ничего плохого, напишите один из следующих результатов:
- Если уравнение не имеет переменных и неверно (например, 3 = 5), эта проблема нет ответа. (На графике эти два уравнения параллельны и никогда не пересекаются.)
- Если уравнение не имеет переменных и Верный, (например, 3 = 3), что означает, что вопрос имеет неограниченное количество ответов. Уравнение один точно такое же, как уравнение два. (На графике эти два уравнения представляют собой одну и ту же линию.)
Метод 2 из 3: Использование метода исключения
Шаг 1. Найдите взаимоисключающие переменные
Иногда уравнение в задаче уже отменяют друг друга при сложении. Например, если вы выполните уравнение 3х + 2у = 11 а также 5х - 2у = 13, члены «+ 2y» и «-2y» компенсируют друг друга и удаляют переменную «y» из уравнения. Посмотрите на уравнение в задаче и посмотрите, есть ли переменные, которые компенсируют друг друга, как в примере. Если нет, переходите к следующему шагу.
Шаг 2. Умножьте уравнение на единицу, чтобы удалить одну переменную
(Пропустите этот шаг, если переменные уже компенсируют друг друга.) Если в уравнении нет переменных, которые компенсируют друг друга, измените одно из уравнений, чтобы они могли компенсировать друг друга. Взгляните на следующие примеры, чтобы вам было легче их понять:
- Уравнения в задаче следующие: 3х - у = 3 а также - x + 2y = 4.
- Изменим первое уравнение так, чтобы переменная у уравновешивают друг друга. (Вы можете использовать переменную Икс. Полученный окончательный ответ будет таким же.)
- Переменная - у в первом уравнении необходимо исключить + 2 года во втором уравнении. Как умножить - у с 2.
- Умножьте обе части уравнения на 2, как показано ниже: 2 (3х - у) = 2 (3), так 6х - 2у = 6. Теперь племя - 2 года уравняют друг друга + 2 года во втором уравнении.
Шаг 3. Объедините два уравнения
Уловка состоит в том, чтобы добавить правую часть первого уравнения к правой части второго уравнения и добавить левую часть первого уравнения к левой части второго уравнения. Если все сделано правильно, одна из переменных нейтрализует друг друга. Попробуем продолжить расчет из предыдущего примера:
- Ваши два уравнения 6х - 2у = 6 а также - x + 2y = 4.
- Сложите левые части двух уравнений: 6x - 2y - x + 2y =?
- Сложите правые части двух уравнений: 6х - 2у - х + 2у = 6 + 4.
Шаг 4. Получите последнее значение переменной
Упростите составное уравнение и работайте со стандартной алгеброй, чтобы получить значение последней переменной. Если после упрощения уравнение не имеет переменных, перейдите к последнему шагу в этом разделе.
В противном случае вы получите значение одной из переменных. В качестве примера:
- Известен 6х - 2у - х + 2у = 6 + 4.
- Групповые переменные Икс а также у вместе: 6х - х - 2у + 2у = 6 + 4.
- Упростите уравнение: 5x = 10
- Найдите значение x: (5x) / 5 = 10/5, чтобы получить х = 2.
Шаг 5. Найдите значение другой переменной
Вы нашли значение одной переменной, а что насчет другой? Подставьте ответ в одно из уравнений, чтобы найти значение оставшейся переменной. В качестве примера:
- Известен х = 2, и одно из уравнений задачи имеет вид 3х - у = 3.
- Замените переменную x на 2: 3 (2) - у = 3.
- Найдите значение y в уравнении: 6 - у = 3
- 6 - у + у = 3 + у, так 6 = 3 + у
- 3 = у
Шаг 6. Знайте, что делать, когда две переменные уравновешивают друг друга
Иногда объединение двух уравнений приводит к уравнению, которое не имеет смысла или не помогает вам решить проблему. Просмотрите свою работу и, если вы уверены, что не сделали ничего плохого, напишите один из следующих двух ответов:
- Если комбинированное уравнение не имеет переменных и неверно (например, 2 = 7), эта проблема нет ответа. Этот ответ применим к обоим уравнениям. (На графике эти два уравнения параллельны и никогда не пересекаются.)
- Если в комбинированном уравнении нет переменных и Верный, (например, 0 = 0), что означает, что вопрос имеет неограниченное количество ответов. Эти два уравнения идентичны друг другу. (На графике эти два уравнения представляют собой одну и ту же линию.)
Метод 3 из 3: нарисуйте график уравнений
Шаг 1. Выполняйте этот метод только по указанию
Если вы не используете компьютер или графический калькулятор, этот метод может дать только приблизительные ответы. Ваш учитель или учебник могут посоветовать вам использовать этот метод, чтобы выработать привычку рисовать уравнения в виде линий. Этот метод также можно использовать для проверки ответа на один из вышеперечисленных методов.
Основная идея заключается в том, что вам нужно описать два уравнения и найти их точку пересечения. Значение x и y в этой точке пересечения является ответом на проблему
Шаг 2. Найдите значения y обоих уравнений
Не объединяйте два уравнения и измените каждое уравнение так, чтобы формат был «y = _x + _». В качестве примера:
- Ваше первое уравнение 2х + у = 5. Изменить на у = -2x + 5.
- Ваше первое уравнение - 3x + 6y = 0. Изменить на 6у = 3х + 0 и упростить до у = х + 0.
- Если ваши два уравнения точно такие же, вся линия является «пересечением» двух уравнений. Напишите неограниченное количество ответов как ответ.
Шаг 3. Нарисуйте оси координат
На миллиметровой бумаге нарисуйте вертикальную линию «ось y» и горизонтальную линию «ось x». Начиная с точки, где две оси пересекаются (0, 0), запишите числовые метки 1, 2, 3, 4 и т. Д., Последовательно указывая вверх по оси Y и вправо по оси X. После этого запишите числовые метки -1, -2 и так далее, последовательно указывая вниз по оси Y и влево по оси X.
- Если у вас нет миллиметровой бумаги, используйте линейку, чтобы убедиться, что интервалы между числами одинаковы.
- Если вы используете большие числа или десятичные дроби, мы рекомендуем масштабировать график (например, 10, 20, 30 или 0, 1, 0, 2, 0, 3 вместо 1, 2, 3).
Шаг 4. Нарисуйте точку пересечения по оси Y для каждого уравнения
Если уравнение имеет вид у = _x + _, вы можете начать рисовать график, указав точку, в которой линия уравнения пересекается с осью y. Значение y всегда совпадает с последним числом в уравнении.
-
Продолжая предыдущий пример, первая строка (у = -2x + 5) пересекает ось y в точке
Шаг 5.. вторая линия (у = х + 0) пересекает ось y в точке 0. (Эти точки обозначены на графике как (0, 5) и (0, 0).)
- По возможности нарисуйте первую и вторую линии ручками или карандашами разного цвета.
Шаг 5. Используйте уклон, чтобы продолжить линию
В формате формулы у = _x + _, число перед x указывает «уровень наклона» линии. Каждый раз, когда x увеличивается на единицу, значение y будет увеличиваться на количество уровней наклона. Используйте эту информацию, чтобы найти точки для каждой линии на графике, когда x = 1. (Вы также можете ввести x = 1 в каждое уравнение и найти значение y.)
- Продолжая предыдущий пример, строка у = -2x + 5 имеет наклон - 2. В точке x = 1 линия движется вниз на 2 от точки x = 0. Проведите линию, соединяющую (0, 5) с (1, 3).
- Линия у = х + 0 имеет наклон ½. При x = 1 линия движется поездка из точки x = 0. Нарисуйте линию, соединяющую (0, 0) с (1,).
- Если две линии имеют одинаковый наклон, эти два никогда не пересекутся. Таким образом, у этой системы уравнений нет ответа. Напишите нет ответа как ответ.
Шаг 6. Продолжайте соединять линии, пока две линии не пересекутся
Прекратите работу и посмотрите на свой график. если две линии пересеклись, переходите к следующему шагу. Если нет, примите решение, основываясь на положении ваших двух строк:
- Если две линии приближаются друг к другу, продолжайте соединять точки ваших полосок.
- Если две линии удаляются друг от друга, вернитесь и соедините точки в противоположных направлениях, начиная с x = 1.
- Если две линии очень далеко друг от друга, попробуйте перепрыгнуть и соединить точки дальше друг от друга, например x = 10.
Шаг 7. Найдите ответ в точке пересечения
После пересечения двух линий значение x и y в этой точке является ответом на вашу проблему. Если повезет, ответ будет целым числом. Например, в нашем примере две прямые пересекаются в точке (2, 1) так что ответ х = 2 и у = 1. В некоторых системах уравнений точка пересечения линии находится между двумя целыми числами, и если график не очень точен, трудно определить, где значения x и y находятся в точке пересечения. Если разрешено, вы можете написать «x находится между 1 и 2» в качестве ответа или использовать метод подстановки или исключения, чтобы найти ответ.
подсказки
- Вы можете проверить свою работу, подставив ответы в исходное уравнение. Если уравнение оказывается верным (например, 3 = 3), это означает, что ваш ответ правильный.
- При использовании метода исключения иногда приходится умножать уравнение на отрицательное число, чтобы переменные могли компенсировать друг друга.
