3 способа решения кубических уравнений

2024 Автор: Jason Gerald | [email protected]. Последнее изменение: 2024-01-16 19:54

Когда вы впервые найдете кубическое уравнение (которое имеет вид ax ³ + bx ² + cx + d = 0), возможно, вы думаете, что проблему будет сложно решить. Но знайте, что решение кубических уравнений существует уже много столетий! Это решение, открытое итальянскими математиками Никколо Тарталья и Джероламо Кардано в 1500-х годах, является одной из первых формул, известных в Древней Греции и Риме. Решение кубических уравнений может быть немного сложным, но при правильном подходе (и достаточных знаниях) можно решить даже самые сложные кубические уравнения.

Шаг

Метод 1 из 3: решение с использованием квадратных уравнений

Шаг 1. Проверьте, есть ли в кубическом уравнении постоянная величина

Как указано выше, кубическое уравнение имеет вид ax ³ + bx ² + cx + d = 0. b, c, и значение d может быть 0, не влияя на форму этого кубического уравнения; это в основном означает, что кубическое уравнение не всегда должно включать значение bx ², cx или d кубическое уравнение. Чтобы начать использовать этот довольно простой способ решения кубических уравнений, проверьте, имеет ли ваше кубическое уравнение константу (или значение d). Если в вашем уравнении нет константы или значения для d, вы можете использовать квадратное уравнение, чтобы найти ответ на кубическое уравнение после нескольких шагов.

С другой стороны, если ваше уравнение имеет постоянное значение, вам понадобится другое решение. См. Шаги ниже, чтобы узнать о других подходах

Шаг 2. Разложите на множители значение x из кубического уравнения

Поскольку ваше уравнение не имеет постоянного значения, все его компоненты имеют переменную x. Это означает, что это значение x может быть исключено из уравнения, чтобы упростить его. Сделайте этот шаг и перепишите кубическое уравнение в виде x (ax ² + bx + c).

Например, предположим, что исходное кубическое уравнение здесь равно 3 x ³ + -2 х ² + 14 x = 0. Факторизуя одну переменную x из этого уравнения, мы получаем уравнение х (3 х ² + -2 х + 14) = 0.

Шаг 3. Используйте квадратные уравнения, чтобы решить уравнения в скобках

Вы можете заметить, что некоторые из ваших новых уравнений, заключенных в круглые скобки, имеют форму квадратного уравнения (ax ² + bx + c). Это означает, что мы можем найти значение, необходимое для того, чтобы сделать это уравнение равным нулю, подставив a, b и c в формулу квадратного уравнения ({- b +/- √ (b ²- 4 ак)} / 2 а). Выполните эти вычисления, чтобы найти два ответа на ваше кубическое уравнение.

• В нашем примере подставьте значения a, b и c (3, -2 и 14 соответственно) в квадратное уравнение следующим образом:

  {- b +/- √ (b ²- 4 ак)} / 2 а

  {-(-2) +/-√ ((-2)²- 4(3)(14))}/2(3)

  {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6

  {2 +/-√ (4 - (168)}/6

  {2 +/-√ (-164)}/6

• Ответ 1:

  {2 + √(-164)}/6

  {2 + 12,8 i} / 6

• Ответ 2:

  {2 - 12,8 i} / 6

Шаг 4. Используйте нули и свой ответ на квадратное уравнение в качестве ответа на кубическое уравнение

Квадратные уравнения будут иметь два ответа, тогда как кубические уравнения имеют три ответа. Вы уже знаете два ответа из трех; которое вы получаете из «квадратичной» части уравнения в скобках. Если ваше кубическое уравнение можно решить с помощью такой "факторизации", ваш третий ответ почти всегда 0. Безопасно! Вы только что решили кубическое уравнение.

Причина, по которой этот метод работает, заключается в фундаментальном факте, что «любое число, умноженное на ноль, равно нулю». Когда вы разлагаете свое уравнение на множители x (ax ² + bx + c) = 0, вы просто делите его на две «части»; одна часть - это переменная x в левой части, а другая часть - квадратное уравнение в скобках. Если одна из этих двух частей равна нулю, тогда все уравнение также будет нулевым. Таким образом, два ответа на квадратное уравнение в скобках, которые сделают его нулевым, являются ответами на кубическое уравнение, а также на сам 0, что сделает часть в левой части также нулевой.

Метод 2 из 3: поиск целочисленных ответов с помощью списка факторов

Шаг 1. Убедитесь, что ваше кубическое уравнение имеет постоянное значение

Хотя описанные выше методы довольно просты в использовании, потому что вам не нужно изучать новую технику вычислений, чтобы их использовать, они не всегда помогут вам решить кубические уравнения. Если ваше кубическое уравнение имеет вид топор ³ + bx ² + cx + d = 0, где значение d не равно нулю, метод "факторизации" выше не работает, поэтому вам нужно использовать один из методов в этом разделе, чтобы решить эту проблему.

Например, предположим, что у нас есть уравнение 2 x ³ + 9 х ² + 13 х = -6. В этом случае, чтобы получить ноль в правой части уравнения, мы должны добавить 6 к обеим сторонам. После этого мы получим новое уравнение 2 x ³ + 9 х ² + 13 x + 6 = 0, со значением d = 6, поэтому мы не можем использовать метод «факторизации», как в предыдущем методе.

Шаг 2. Найдите множители a и d

Чтобы решить ваше кубическое уравнение, начните с нахождения множителя a (коэффициента x ³) и d (постоянное значение в конце уравнения). Помните, что множители - это числа, которые можно умножать друг на друга, чтобы получить определенное число. Например, поскольку вы можете получить 6, умножив 6 × 1 и 2 × 3, 1, 2, 3 и 6 являются множителями 6.

• В нашем примере задачи a = 2 и d = 6. Коэффициент 2 равен 1 и 2. В то время как множитель 6 равен 1, 2, 3 и 6.

  

  Шаг 3. Разделите коэффициент a на коэффициент d

  Затем перечислите значения, которые вы получите, разделив каждый коэффициент a на каждый коэффициент d. Этот расчет обычно приводит к множеству дробных значений и нескольким целым числам. Целочисленное значение для решения кубического уравнения - одно из целых чисел, полученных в результате вычислений.

  В нашем уравнении разделите значение коэффициента a (1, 2) на коэффициент d (1, 2, 3, 6) и получите следующие результаты: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2, и 2/3. Далее добавляем в список отрицательные значения, и мы получаем: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3 и -2/3. Ответ на кубическое уравнение - целое число - находится в списке.

  

  Шаг 4. Используйте синтетическое деление, чтобы вручную проверить свои ответы

  Если у вас есть список значений, подобных приведенному выше, вы можете найти целые числа, которые являются ответами на ваше кубическое уравнение, введя каждое целое число вручную, и найти, какое значение возвращает ноль. Однако, если вы не хотите тратить на это время, есть способ сделать это быстрее, а именно с помощью вычисления, называемого синтетическим делением. По сути, вы должны разделить свое целочисленное значение на исходные коэффициенты a, b, c и d в своем кубическом уравнении. Если остаток равен нулю, то это значение является одним из ответов на ваше кубическое уравнение.

  • Синтетическое деление - сложная тема - дополнительную информацию см. По ссылке ниже. Вот пример того, как найти один из ответов на ваше кубическое уравнение с синтетическим делением:

    -1 | 2 9 13 6

    _| -2-7-6

    _| 2 7 6 0

    Поскольку мы получаем окончательный результат, равный 0, мы знаем, что один из целочисленных ответов на наше кубическое уравнение: - 1.

  Метод 3 из 3: использование дискриминантного подхода

  

  Шаг 1. Запишите уравнения a, b, c и d

  Чтобы найти ответ на кубическое уравнение таким образом, мы проделаем много вычислений с коэффициентами в нашем уравнении. По этой причине рекомендуется записать значения a, b, c и d, прежде чем вы забудете какое-либо из значений.

  Например, для уравнения x ³ - 3 х ² + 3 x - 1, запишите это как a = 1, b = -3, c = 3 и d = -1. Не забывайте, что когда переменная x не имеет коэффициента, ее значение равно 1.

  

  Шаг 2. Вычислить 0 = b ² - 3 кондиционера.

  Дискриминантный подход к поиску ответов на кубические уравнения требует сложных вычислений, но если вы внимательно выполните шаги, он может быть очень полезен для решения кубических уравнений, которые трудно решить другими способами. Для начала найдите значение 0, которое является первым значимым значением из нескольких, которые нам нужны, подставив соответствующее значение в формулу b ² - 3 кондиционера.

  • В нашем примере мы решим это следующим образом:

    б ² - 3 ак.

    (-3)² - 3(1)(3)

    9 - 3(1)(3)

    9 - 9 = 0 = 0

  

  Шаг 3. Вычислить 1 = 2 b ³ - 9 abc + 27 a ² d.

  Следующее важное значение, которое нам нужно, 1, требует более длительного вычисления, но его можно найти так же, как и 0. Подставьте соответствующее значение в формулу 2 b ³ - 9 abc + 27 a ² d, чтобы получить значение 1.

  • В этом примере мы решаем это следующим образом:

    2(-3)³ - 9(1)(-3)(3) + 27(1)²(-1)

    2(-27) - 9(-9) + 27(-1)

    -54 + 81 - 27

    81 - 81 = 0 = 1

  

  Шаг 4. Вычислить = 1² - 4Δ0³) -27 а ².

  Далее мы вычисляем «дискриминантное» значение значений 0 и 1. Дискриминант - это число, которое дает вам информацию о корне многочлена (возможно, вы бессознательно запомнили формулу квадратичного дискриминанта: b ² - 4 кондиционера). В случае кубического уравнения, если значение дискриминанта положительное, уравнение имеет три действительных числа ответа. Если значение дискриминанта равно нулю, то уравнение имеет один или два ответа с действительными числами, и некоторые из ответов имеют одинаковое значение. Если значение отрицательное, то уравнение имеет только одно действительное число, потому что график уравнения всегда будет пересекать ось x хотя бы один раз.)

  • В этом примере, поскольку и 0, и 1 = 0, найти значение очень легко. Нам просто нужно рассчитать это следующим образом:

    1² - 4Δ0³) -27 а ²

    (0)² - 4(0)³) ÷ -27(1)²

    0 - 0 ÷ 27

    0 =, поэтому у нашего уравнения 1 или 2 ответа.

  

  Шаг 5. Вычислить C = ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1) / 2).

  Последнее значение, которое нам важно получить, - это значение C. Это значение позволяет нам получить все три корня нашего кубического уравнения. Решайте как обычно, подставляя в формулу значения 1 и 0.

  • В этом примере мы получим значение C следующим образом:

    ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1) / 2)

    ³√(√((0² - 4(0)³) + (0))/ 2)

    ³√(√((0 - 0) + (0))/ 2)

    0 = C

  

  Шаг 6. Вычислите три корня уравнения с вашей переменной

  Корень (ответ) вашего кубического уравнения определяется по формуле (b + u С + (Δ0 / u С)) / 3 а, где u = (-1 + (-3)) / 2 и n равно 1, 2 или 3. Подставьте свои значения в формулу, чтобы решить их - может потребоваться довольно много вычислений., но вы должны получить ответы на все три кубических уравнения!

  • В этом примере мы могли бы решить эту проблему, проверив ответы, когда n равно 1, 2 и 3. Ответ, который мы получаем в результате этого вычисления, является возможным ответом на наше кубическое уравнение - любое значение, которое мы подставляем в кубическое уравнение, и оно дает тот же результат. с 0, это правильный ответ. Например, если мы получим ответ, равный 1, если в одном из наших вычислительных экспериментов подставим значение 1 в уравнение x ³ - 3 х ² + 3 x - 1 дает окончательный результат, равный 0. Таким образом,

    Шаг 1. является одним из ответов на наше кубическое уравнение.