Квадратное уравнение - это уравнение, высшая степень которого равна 2 (в квадрате). Есть три основных способа решить квадратное уравнение: разложить квадратное уравнение на множители, если это возможно, использовать квадратную формулу или заполнить квадрат. Если вы хотите освоить эти три метода, выполните следующие действия.
Шаг
Метод 1 из 3: уравнения факторинга
Шаг 1. Объедините все равные переменные и переместите их в одну часть уравнения
Первый шаг к факторизации уравнения - переместить все равные переменные в одну сторону уравнения, где x2положительный. Чтобы объединить переменные, сложите или вычтите все переменные x2, x и константы (целые числа), переместите их на другую сторону уравнения, чтобы на другой стороне ничего не осталось. Если на другой стороне нет оставшихся переменных, напишите 0 рядом со знаком равенства. Вот как это сделать:
- 2x2 - 8х - 4 = 3х - х2
- 2x2 + х2 - 8x -3x - 4 = 0
- 3x2 - 11x - 4 = 0
Шаг 2. Разложите это уравнение на множители
Чтобы разложить это уравнение на множители, вы должны использовать множитель x2 (3) и постоянный коэффициент (-4), умножив их и прибавив, чтобы соответствовать переменной в середине, (-11). Вот как это сделать:
- 3x2 имеет только один возможный множитель, 3x и x, вы можете записать их в скобках: (3x +/-?) (x +/-?) = 0.
- Затем используйте процесс исключения, чтобы умножить на 4, чтобы найти продукт, который дает -11x. Вы можете использовать произведение 4 и 1 или 2 и 2, потому что, умножив оба, вы получите 4. Но помните, что одно из чисел должно быть отрицательным, потому что результат равен -4.
- Попробуйте (3x + 1) (x - 4). При умножении получается - 3x2 -12х + х -4. Если вы объедините переменные -12 x и x, результат будет -11x, что является вашим средним значением. Вы только что разложили квадратное уравнение на множители.
- Например, давайте попробуем разложить на множители другой продукт: (3x -2) (x +2) = 3x2 + 6x -2x -4. Если вы объедините переменные, результат будет 3x2 -4x -4. Хотя множители -2 и 2 при умножении дают -4, среднее значение не то же самое, потому что вы хотите получить значение -11x вместо -4x.
Шаг 3. Предположим, что каждая скобка равна нулю в другом уравнении
Это позволит вам найти 2 x значения, которые сделают ваше уравнение нулевым. Вы факторизовали свое уравнение, поэтому все, что вам нужно сделать, это предположить, что расчет в каждой скобке равен нулю. Таким образом, вы можете написать 3x + 1 = 0 и x - 4 = 0.
Шаг 4. Решите каждое уравнение отдельно
В квадратном уравнении для x есть 2 значения. Решите каждое уравнение отдельно, перемещая переменные и записывая 2 ответа для x, например:
-
Решить 3x + 1 = 0
- 3x = -1….. вычитанием
- 3x / 3 = -1/3….. путем деления
- x = -1/3….. путем упрощения
-
Решить x - 4 = 0
x = 4….. вычитанием
- x = (-1/3, 4) ….. разделив несколько возможных ответов, то есть x = -1/3 или x = 4 оба могут быть правильными.
Шаг 5. Проверяем x = -1/3 в (3x + 1) (x - 4) = 0:
Таким образом, получаем (3 [-1/3] + 1) ([- 1/3] - 4)? =? 0….. путем замены (-1 + 1) (- 4 1/3)? =? 0….. путем упрощения (0) (- 4 1/3) = 0….. путем умножения Итак, 0 = 0….. Да, x = -1/3 верно.
Шаг 6. Проверьте x = 4 в (3x + 1) (x - 4) = 0:
Таким образом, получаем (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0….. подставив (13) (4 - 4)? =? 0….. путем упрощения (13) (0) = 0….. путем умножения Итак, 0 = 0….. Да, x = 4 также верно.
Итак, после проверки по отдельности оба ответа верны и могут использоваться в уравнениях
Метод 2 из 3: использование квадратичной формулы
Шаг 1. Объедините все равные переменные и переместите их в одну часть уравнения
Переместите все переменные в одну сторону уравнения со значением переменной x2 положительный. Запишите переменные с последовательными показателями так, чтобы x2 сначала написано, затем следуют переменные и константы. Вот как это сделать:
- 4x2 - 5х - 13 = х2 -5
- 4x2 - Икс2 - 5х - 13 +5 = 0
- 3x2 - 5х - 8 = 0
Шаг 2. Запишите формулу корней квадратного уравнения
Квадратичная формула: b ± b2−4ac2a { displaystyle { frac {-b / pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}
Шаг 3. Определите значения a, b и c из квадратного уравнения
Переменная a - коэффициент x2, b - коэффициент переменной x, c - постоянная. Для уравнения 3x.2 -5x - 8 = 0, a = 3, b = -5 и c = -8. Запишите все три.
Шаг 4. Подставьте значения a, b и c в уравнение
Как только вы узнаете три значения переменных, подставьте их в следующее уравнение:
- {-b +/- √ (b2 - 4ac)} / 2
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - 4(3)(-8))}/2(3) =
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3)
Шаг 5. Проведите расчеты
После того, как вы ввели числа, произведите математические вычисления, чтобы упростить знак плюс или минус, умножьте или возведите в квадрат оставшиеся переменные. Вот как это сделать:
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3) =
- {5 +/-√(25 + 96)}/6
- {5 +/-√(121)}/6
Шаг 6. Упростите квадратный корень
Если число под квадратным корнем является точным квадратом, вы получите целое число. Если число не является квадратом, упростите его до простейшего корня. Если число отрицательное, а вы считаете, что оно должно быть отрицательным, значение корня будет сложным. В этом примере (121) = 11. Вы можете написать x = (5 +/- 11) / 6.
Шаг 7. Ищите положительные и отрицательные ответы
После того, как вы удалили знак квадратного корня, вы можете найти положительный и отрицательный результат для x. Теперь, когда у вас есть (5 +/- 11) / 6, вы можете написать 2 ответа:
- (5 + 11)/6
- (5 - 11)/6
Шаг 8. Ответьте положительно и отрицательно
Выполните математические вычисления:
- (5 + 11)/6 = 16/6
- (5-11)/6 = -6/6
Шаг 9. Упростите
Чтобы упростить каждый ответ, разделите на наибольшее число, которое может разделить оба числа. Разделите первую дробь на 2, а вторую на 6, и вы найдете значение x.
- 16/6 = 8/3
- -6/6 = -1
- х = (-1; 8/3)
Метод 3 из 3: заполните квадрат
Шаг 1. Переместите все переменные в одну часть уравнения
Убедитесь, что a или переменная x2 положительный. Вот как это сделать:
- 2x2 - 9 = 12x =
-
2x2 - 12x - 9 = 0
В этом уравнении переменная a равна 2, переменная b равна -12, а переменная c равна -9
Шаг 2. Переместите переменную или константу c на другую сторону
Константы - это числовые термины без переменных. Переместитесь в правую часть уравнения:
- 2x2 - 12x - 9 = 0
- 2x2 - 12x = 9
Шаг 3. Разделите обе части на коэффициент a или переменную x2.
Если х2 не имеет переменной и коэффициент равен 1, этот шаг можно пропустить. В этом случае вам нужно разделить все переменные на 2, например:
- 2x2/ 2 - 12x / 2 = 9/2 =
- Икс2 - 6x = 9/2
Шаг 4. Разделите b на 2, возведите его в квадрат и сложите результат с обеих сторон
Значение b в этом примере равно -6. Вот как это сделать:
- -6/2 = -3 =
- (-3)2 = 9 =
- Икс2 - 6х + 9 = 9/2 + 9
Шаг 5. Упростите обе стороны
Разложите переменную слева на множители, чтобы получить (x-3) (x-3) или (x-3)2. Добавьте значения справа, чтобы получить 9/2 + 9 или 9/2 + 18/2, то есть 27/2.
Шаг 6. Найдите квадратный корень для обеих сторон
Квадратный корень из (x-3)2 равно (x-3). Вы можете записать квадратный корень из 27/2 как ± √ (27/2). Таким образом, x - 3 = ± √ (27/2).
Шаг 7. Упростите корни и найдите значение x
Чтобы упростить ± √ (27/2), найдите полный квадрат между числами 27 и 2 или множите это число. Полный квадрат 9 можно найти в 27, потому что 9 x 3 = 27. Чтобы извлечь 9 из квадратного корня, выньте 9 из корня и запишите 3, квадратный корень, вне квадратного корня. Оставьте остаток 3 в числителе дроби ниже квадратного корня, поскольку 27 не учитывает все множители, и запишите 2 ниже. Затем переместите константу 3 в левой части уравнения вправо и запишите два решения для x:
- х = 3 + (√6) / 2
- х = 3 - (√6) / 2)
подсказки
- Как видите, корни полностью не исчезнут. Таким образом, переменные числителя не могут быть объединены (потому что они не равны). Нет смысла разделять это на положительное или отрицательное. Однако мы можем разделить его на тот же коэффициент, но ТОЛЬКО если коэффициенты одинаковы для обеих констант А ТАКЖЕ корневой коэффициент.
- Если число под квадратным корнем не является точным квадратом, то последние несколько шагов немного отличаются. Вот пример:
- Если b - четное число, формула принимает следующий вид: {- (b / 2) +/- (b / 2) -ac} / a.
