Как определить детерминант матрицы 3x3: 11 шагов (с рисунками)

2024 Автор: Jason Gerald | [email protected]. Последнее изменение: 2024-01-15 08:22

Определитель матриц часто используется в исчислении, линейной алгебре и геометрии на более высоком уровне. За пределами академических кругов инженеры по компьютерной графике и программисты все время используют матрицы и их детерминанты. Если вы уже знаете, как определить определитель матрицы порядка 2x2, вам просто нужно узнать, когда использовать сложение, вычитание и времена для определения определителя матрицы порядка 3x3.

Шаг

Часть 1 из 2: Определение детерминантов

Напишите свою матрицу порядка 3 x 3. Мы начнем с матрицы A порядка 3x3 и попытаемся найти определитель | A |. Ниже представлена общая форма записи матриц, которую мы будем использовать, и пример нашей матрицы:

		а₁₁	а₁₂	а₁₃		1	5	3
M	=	а₂₁	а₂₂	а₂₃	=	2	4	7
		а₃₁	а₃₂	а₃₃		4	6	2

Шаг 1. Выберите строку или столбец

Сделайте свой выбор ссылочной строкой или столбцом. Что бы вы ни выбрали, вы все равно получите тот же ответ. Временно выберите первую строку. В следующем разделе мы дадим вам несколько советов по выбору самого простого для расчета варианта.

Выберите первую строку образца матрицы A. Обведите цифру 1 5 3. В общепринятых обозначениях обведите a₁₁ а₁₂ а₁₃.

Шаг 2. Вычеркните строку и столбец первого элемента

Посмотрите на строку или столбец, который вы обвели, и выберите первый элемент. Вычеркните строки и столбцы. Нетронутыми останутся только 4 числа. Превратите эти 4 числа в матрицу порядка 2 x 2.

В нашем примере наша ссылочная строка - 1 5 3. Первый элемент находится в 1-й строке и 1-м столбце. Вычеркните всю 1-ю строку и 1-й столбец. Запишите оставшиеся элементы в матрицу 2 x 2:
1 5 3
2 4 7
4 6 2

Шаг 3. Определите определитель матрицы порядка 2 x 2

Помните, определите определитель матрицы [^{а_c ^б_d] к ad - bc. Возможно, вы также научились определять определитель матрицы, вычерчивая X между матрицей 2 x 2. Умножьте два числа, соединенных линией / X. Затем вычтите количество раз два числа, соединенных линией / находятся. Используйте эту формулу для вычисления определителя матрицы 2 x 2.}

В примере определитель матрицы [^{4₆ ⁷₂}] = 4*2 - 7*6 = - 34.
Этот определитель называется незначительный элементов, выбранных вами в исходной матрице. В данном случае мы только что нашли минор₁₁.

Шаг 4. Умножьте найденное число на выбранный вами элемент

Помните, что вы выбрали элементы из ссылочной строки (или столбца), когда решили, какие строки и столбцы вычеркнуть. Умножьте этот элемент на определитель найденной матрицы 2 x 2.

В этом примере мы выбираем₁₁ что равно 1. Умножьте это число на -34 (определитель матрицы 2 x 2), чтобы получить 1 * -34 = - 34.

Шаг 5. Определите символ вашего ответа

На следующем этапе вам нужно умножить свой ответ на 1 или -1, чтобы получить кофактор выбранного вами элемента. Используемый символ зависит от того, где находятся элементы в матрице 3 x 3. Помните, что эта таблица символов используется для определения множителя вашего элемента:

+ - +
- + -
+ - +
Потому что мы выбираем₁₁ который отмечен знаком +, мы умножим число на +1 (или, другими словами, не меняем его). Появится тот же ответ, а именно - 34.
Другой способ определить символ - использовать формулу (-1) ^{i + j, где i и j - элементы строки и столбца.}

Шаг 6. Повторите этот процесс для второго элемента в ссылочной строке или столбце

Вернитесь к исходной матрице 3 x 3, в которой вы ранее обвели строку или столбец. Повторите тот же процесс с элементом:

Вычеркните строку и столбец элемента.

В этом случае выберите элемент a₁₂ (что стоит 5). Вычеркнуть 1-й ряд (1 5 3) и 2-й столбик (5 4 6).
Превратите оставшиеся элементы в матрицу 2x2.

В нашем примере матрица порядка 2x2 для второго элемента равна [²₄ ⁷₂].
Определите определитель этой матрицы 2x2.

Используйте формулу ad - bc. (2 * 2-7 * 4 = -24)
Умножьте на элементы выбранной вами матрицы 3x3.

-24 * 5 = -120
Решите, умножать ли полученный результат на -1 или нет.

Используйте таблицу символов или формул (-1)^ij. Выбрать элемент а₁₂ символизированный - в таблице символов. Замените наш символ ответа на: (-1) * (- 120) = 120.

Шаг 7. Повторите тот же процесс для третьего элемента

У вас есть еще один кофактор для определения определителя. Подсчитайте i для третьего элемента в вашей контрольной строке или столбце. Вот быстрый способ вычислить кофактор a₁₃ в нашем примере:

Вычеркните 1-ю строку и 3-й столбец, чтобы получить [²₄ ⁴₆].
Определитель 2 * 6 - 4 * 4 = -4.
Умножить на элемент a₁₃: -4 * 3 = -12.
Элемент а₁₃ символ + в таблице символов, поэтому ответ - 12.

Шаг 8. Сложите результаты трех подсчетов

Это последний шаг. Вы вычислили три кофактора, по одному для каждого элемента в строке или столбце. Сложите эти результаты, и вы найдете определитель матрицы 3 x 3.

В этом примере определитель матрицы равен - 34 + 120 + - 12 = 74.

Часть 2 из 2: Упрощение решения проблем

Шаг 1. Выберите строку или столбец ссылок, в которых больше всего нулей

Помните, что вы можете выбрать любую строку или столбец по своему желанию. Что бы вы ни выбрали, ответ будет одинаковым. Если вы выбираете строку или столбец с номером 0, вам нужно только вычислить кофактор с элементами, которые не равны 0, потому что:

Например, выберите вторую строку, в которой есть элемент a₂₁, а₂₂, фонд₂₃. Чтобы решить эту проблему, мы будем использовать 3 разных матрицы 2 x 2, скажем, A₂₁, А₂₂, Ты₂₃.
Определитель матрицы 3x3 есть₂₁| А₂₁| - а₂₂| А₂₂| + а₂₃| А₂₃|.
Если₂₂ фонд₂₃ значение 0, существующая формула будет₂₁| А₂₁| - 0 * | А₂₂| + 0 * | А₂₃| = а₂₁| А₂₁| - 0 + 0 = а₂₁| А₂₁|, Следовательно, мы будем вычислять кофактор только для одного элемента.

Шаг 2. Используйте дополнительные строки, чтобы упростить матричные задачи

Если взять значения из одной строки и сложить их в другую строку, определитель матрицы не изменится. То же верно и для столбцов. Вы можете делать это многократно или умножать на константу перед добавлением, чтобы получить как можно больше нулей в матрице. Это может сэкономить много времени.

Например, у вас есть матрица с 3 строками: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]
Чтобы удалить цифру 9, которая находится в позиции a₁₁, вы можете умножить значение во 2-й строке на -3 и добавить результат в первую строку. Теперь новая первая строка: [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
Новая матрица имеет строки [0 -4 2] [3 1 0] [7 5 -2]. Используйте тот же трюк со столбцами, чтобы сделать₁₂ быть числом 0.

Шаг 3. Воспользуйтесь быстрым методом для треугольных матриц

В этом частном случае определитель является произведением элементов на главной диагонали₁₁ в левом верхнем углу₃₃ в правом нижнем углу матрицы. Эта матрица по-прежнему является матрицей 3x3, но матрица «треугольник» имеет специальный шаблон чисел, которые не равны 0:

Верхняя треугольная матрица: все элементы, отличные от 0, находятся на главной диагонали или выше нее. Все числа под главной диагональю равны 0.
Нижняя треугольная матрица: все элементы, отличные от 0, находятся на главной диагонали или ниже нее.
Диагональная матрица: все элементы, отличные от 0, находятся на главной диагонали (подмножество вышеупомянутых типов матриц).

подсказки

Если все элементы в строке или столбце равны 0, определитель матрицы равен 0.
Этот метод можно использовать для всех размеров квадратичных матриц. Например, если вы используете этот метод для матрицы порядка 4x4, ваш «страйк» оставит матрицу порядка 3x3, детерминант которой можно определить, выполнив шаги, описанные выше. Помните, это может быть скучно!