Как вывести неявные функции: 7 шагов (с изображениями)

2025 Автор: Jason Gerald | [email protected]. Последнее изменение: 2025-01-23 12:43

В исчислении, когда у вас есть уравнение для y, записанное в форме x (например, y = x² -3x), для нахождения производной легко использовать базовые методы вывода (называемые математиками методами неявных производных функций). Однако для уравнений, которые сложно построить, используя только член y на одной стороне знака равенства (например, x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19), нужен другой подход. С помощью техники, называемой неявными производными функций, легко найти производные уравнений с несколькими переменными, если вы знаете основы явных производных функций!

Шаг

Метод 1 из 2: быстрый вывод простых уравнений

Шаг 1. Выведите x-члены как обычно

При попытке вывести уравнение с несколькими переменными, например x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19, может быть трудно понять, с чего начать. К счастью, первый шаг производной неявной функции самый простой. Просто выведите x-члены и константы с обеих сторон уравнения в соответствии с правилами обычных (явных) производных для начала. Пока не обращайте внимания на y-члены.

• Попробуем вывести пример простого уравнения, приведенного выше. Икс² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19 имеет два члена x: x² и -5x. Если мы хотим вывести уравнение, мы должны сначала сделать это, например:

  Икс² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19

  (Довести до степени 2 в x² в качестве коэффициента удалите x в -5x и измените 19 на 0)

  2x + y² - 5 + 8л + 2кс² = 0

Шаг 2. Получите члены y и добавьте (dy / dx) рядом с каждым членом

Для следующего шага просто выведите члены y так же, как вы получили члены x. Однако на этот раз добавьте (dy / dx) рядом с каждым членом, как если бы вы добавляли коэффициенты. Например, если вы уменьшите y², то производная становится 2y (dy / dx). Пока не обращайте внимания на термины, содержащие x и y.

• В нашем примере уравнение теперь выглядит так: 2x + y² - 5 + 8л + 2кс² = 0. Следующий шаг по получению y выполним следующим образом:

  2x + y² - 5 + 8л + 2кс² = 0

  (Довести до степени 2 в y² в качестве коэффициентов удалите y в 8y и поместите dy / dx рядом с каждым членом).

  2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy²= 0

Шаг 3. Используйте правило произведения или правило частного для членов, имеющих x и y

Работа с терминами, имеющими x и y, немного сложна, но если вы знаете правила для продукта и частного для производных финансовых инструментов, вам будет легко. Если члены x и y умножаются, используйте правило произведения ((f × g) '= f' × g + g × f '), подставив член x вместо f и член y вместо g. С другой стороны, если члены x и y исключают друг друга, используйте правило частного ((f / g) '= (g × f' - g '× f) / g²), заменив числитель вместо f и знаменатель вместо g.

• В нашем примере 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy² = 0, у нас есть только один член, который имеет x и y - 2xy². Поскольку x и y умножаются друг на друга, мы будем использовать правило произведения, чтобы получить следующее:

  2xy² = (2x) (y²) - положим 2x = f и y² = g в (f × g) '= f' × g + g × f '

  (f × g) '= (2x)' × (y²) + (2x) × (y²)'

  (f × g) '= (2) × (y²) + (2x) × (2y (dy / dx))

  (f × g) '= 2 года² + 4xy (dy / dx)

• Добавляя это к нашему основному уравнению, мы получаем 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y² + 4xy (dy / dx) = 0

Шаг 4. В одиночку (dy / dx)

Ты почти сделал! Теперь все, что вам нужно сделать, это решить уравнение (dy / dx). Это кажется трудным, но обычно это не так - помните, что любые два члена a и b, умноженные на (dy / dx), могут быть записаны как (a + b) (dy / dx) из-за распределительного свойства умножения. Эта тактика может упростить выделение (dy / dx) - просто переместите все остальные термины с другой стороны круглых скобок, а затем разделите на термины в скобках рядом с (dy / dx).

• В нашем примере мы упрощаем 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y² + 4xy (dy / dx) = 0 следующим образом:

  2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y² + 4xy (dy / dx) = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy / dx) + 2x - 5 + 2y² = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy / dx) = -2y² - 2x + 5

  (dy / dx) = (-2y² - 2x + 5) / (2y + 8 + 4xy)

  (dy / dx) = (-2y² - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)

Метод 2 из 2: Использование продвинутых методов

Шаг 1. Введите значение (x, y), чтобы найти (dy / dx) для любой точки

Безопасно! Вы уже неявно вывели свое уравнение - задача не из легких с первого раза! Использовать это уравнение для поиска градиента (dy / dx) для любой точки (x, y) так же просто, как вставить значения x и y для вашей точки в правую часть уравнения, а затем найти (dy / dx).

• Например, предположим, что мы хотим найти градиент в точке (3, -4) для нашего примера уравнения выше. Для этого мы заменим 3 на x и -4 на y, решив следующим образом:

  (dy / dx) = (-2y² - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)

  (dy / dx) = (-2 (-4)² - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)

  (dy / dx) = (-2 (16) - 6 + 5) / (2 (2 (3) (- 4))

  (dy / dx) = (-32) - 6 + 5) / (2 (2 (-12))

  (dy / dx) = (-33) / (2 (2 (-12))

  (dy / dx) = (-33) / (- 48) = 3/48, или 0, 6875.

Шаг 2. Используйте правило цепочки для функций внутри функций

Цепное правило - это важная часть знаний, которую необходимо иметь при работе над задачами исчисления (включая задачи о неявной производной функции). Цепное правило гласит, что для функции F (x), которую можно записать как (f о g) (x) производная F (x) равна f '(g (x)) g' (x). Для сложных задач с производной неявной функции это означает, что можно вывести различные отдельные части уравнения, а затем объединить результаты.

• В качестве простого примера предположим, что нам нужно найти производную от sin (3x² + x) как часть более крупной задачи о производной неявной функции для уравнения sin (3x² + х) + у³ = 0. Если представить грех (3x² + x) как f (x) и 3x² + x как g (x), мы можем найти производную следующим образом:

  f '(g (x)) g' (x)

  (грех (3x² + x)) '× (3x² + х) '

  cos (3x² + х) × (6х + 1)

  (6x + 1) cos (3x² + х)

Шаг 3. Для уравнений с переменными x, y и z найдите (dz / dx) и (dz / dy)

Хотя это необычно для базового исчисления, в некоторых сложных приложениях может потребоваться вывод неявных функций от более чем двух переменных. Для каждой дополнительной переменной необходимо найти ее дополнительную производную по x. Например, если у вас есть x, y и z, вы должны искать и (dz / dy), и (dz / dx). Мы можем сделать это, выведя уравнение относительно x дважды - во-первых, мы будем вводить (dz / dx) каждый раз, когда получаем член, содержащий z, а во-вторых, мы вставляем (dz / dy) каждый раз, когда получаем z. После этого остается только разрешить (dz / dx) и (dz / dy).

• Например, предположим, что мы пытаемся вывести x³z² - 5xy⁵г = х² + y³.

• Во-первых, давайте произведем от x и введем (dz / dx). Не забудьте при необходимости применить правило продукта!

  Икс³z² - 5xy⁵г = х² + y³

  3x²z² + 2x³z (dz / dx) - 5 лет⁵z - 5xy⁵(dz / dx) = 2x

  3x²z² + (2x³z - 5xy⁵) (dz / dx) - 5 лет⁵z = 2x

  (2x³z - 5xy⁵) (dz / dx) = 2x - 3x²z² + 5лет⁵z

  (dz / dx) = (2x - 3x²z² + 5лет⁵z) / (2x³z - 5xy⁵)

• Теперь сделайте то же самое для (dz / dy)

  Икс³z² - 5xy⁵г = х² + y³

  2x³z (dz / dy) - 25xy⁴z - 5xy⁵(dz / dy) = 3y²

  (2x³z - 5xy⁵) (dz / dy) = 3y² + 25xy⁴z

  (dz / dy) = (3y² + 25xy⁴z) / (2x³z - 5xy⁵)