В исчислении, когда у вас есть уравнение для y, записанное в форме x (например, y = x2 -3x), для нахождения производной легко использовать базовые методы вывода (называемые математиками методами неявных производных функций). Однако для уравнений, которые сложно построить, используя только член y на одной стороне знака равенства (например, x2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19), нужен другой подход. С помощью техники, называемой неявными производными функций, легко найти производные уравнений с несколькими переменными, если вы знаете основы явных производных функций!
Шаг
Метод 1 из 2: быстрый вывод простых уравнений
Шаг 1. Выведите x-члены как обычно
При попытке вывести уравнение с несколькими переменными, например x2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19, может быть трудно понять, с чего начать. К счастью, первый шаг производной неявной функции самый простой. Просто выведите x-члены и константы с обеих сторон уравнения в соответствии с правилами обычных (явных) производных для начала. Пока не обращайте внимания на y-члены.
-
Попробуем вывести пример простого уравнения, приведенного выше. Икс2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19 имеет два члена x: x2 и -5x. Если мы хотим вывести уравнение, мы должны сначала сделать это, например:
-
-
Икс2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19
- (Довести до степени 2 в x2 в качестве коэффициента удалите x в -5x и измените 19 на 0)
- 2x + y2 - 5 + 8л + 2кс2 = 0
-
-
Шаг 2. Получите члены y и добавьте (dy / dx) рядом с каждым членом
Для следующего шага просто выведите члены y так же, как вы получили члены x. Однако на этот раз добавьте (dy / dx) рядом с каждым членом, как если бы вы добавляли коэффициенты. Например, если вы уменьшите y2, то производная становится 2y (dy / dx). Пока не обращайте внимания на термины, содержащие x и y.
-
В нашем примере уравнение теперь выглядит так: 2x + y2 - 5 + 8л + 2кс2 = 0. Следующий шаг по получению y выполним следующим образом:
-
-
2x + y2 - 5 + 8л + 2кс2 = 0
- (Довести до степени 2 в y2 в качестве коэффициентов удалите y в 8y и поместите dy / dx рядом с каждым членом).
- 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy2= 0
-
-
Шаг 3. Используйте правило произведения или правило частного для членов, имеющих x и y
Работа с терминами, имеющими x и y, немного сложна, но если вы знаете правила для продукта и частного для производных финансовых инструментов, вам будет легко. Если члены x и y умножаются, используйте правило произведения ((f × g) '= f' × g + g × f '), подставив член x вместо f и член y вместо g. С другой стороны, если члены x и y исключают друг друга, используйте правило частного ((f / g) '= (g × f' - g '× f) / g2), заменив числитель вместо f и знаменатель вместо g.
-
В нашем примере 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy2 = 0, у нас есть только один член, который имеет x и y - 2xy2. Поскольку x и y умножаются друг на друга, мы будем использовать правило произведения, чтобы получить следующее:
-
- 2xy2 = (2x) (y2) - положим 2x = f и y2 = g в (f × g) '= f' × g + g × f '
- (f × g) '= (2x)' × (y2) + (2x) × (y2)'
- (f × g) '= (2) × (y2) + (2x) × (2y (dy / dx))
- (f × g) '= 2 года2 + 4xy (dy / dx)
-
- Добавляя это к нашему основному уравнению, мы получаем 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y2 + 4xy (dy / dx) = 0
Шаг 4. В одиночку (dy / dx)
Ты почти сделал! Теперь все, что вам нужно сделать, это решить уравнение (dy / dx). Это кажется трудным, но обычно это не так - помните, что любые два члена a и b, умноженные на (dy / dx), могут быть записаны как (a + b) (dy / dx) из-за распределительного свойства умножения. Эта тактика может упростить выделение (dy / dx) - просто переместите все остальные термины с другой стороны круглых скобок, а затем разделите на термины в скобках рядом с (dy / dx).
-
В нашем примере мы упрощаем 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y2 + 4xy (dy / dx) = 0 следующим образом:
-
- 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y2 + 4xy (dy / dx) = 0
- (2y + 8 + 4xy) (dy / dx) + 2x - 5 + 2y2 = 0
- (2y + 8 + 4xy) (dy / dx) = -2y2 - 2x + 5
- (dy / dx) = (-2y2 - 2x + 5) / (2y + 8 + 4xy)
- (dy / dx) = (-2y2 - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)
-
Метод 2 из 2: Использование продвинутых методов
Шаг 1. Введите значение (x, y), чтобы найти (dy / dx) для любой точки
Безопасно! Вы уже неявно вывели свое уравнение - задача не из легких с первого раза! Использовать это уравнение для поиска градиента (dy / dx) для любой точки (x, y) так же просто, как вставить значения x и y для вашей точки в правую часть уравнения, а затем найти (dy / dx).
-
Например, предположим, что мы хотим найти градиент в точке (3, -4) для нашего примера уравнения выше. Для этого мы заменим 3 на x и -4 на y, решив следующим образом:
-
- (dy / dx) = (-2y2 - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)
- (dy / dx) = (-2 (-4)2 - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)
- (dy / dx) = (-2 (16) - 6 + 5) / (2 (2 (3) (- 4))
- (dy / dx) = (-32) - 6 + 5) / (2 (2 (-12))
- (dy / dx) = (-33) / (2 (2 (-12))
- (dy / dx) = (-33) / (- 48) = 3/48, или 0, 6875.
-
Шаг 2. Используйте правило цепочки для функций внутри функций
Цепное правило - это важная часть знаний, которую необходимо иметь при работе над задачами исчисления (включая задачи о неявной производной функции). Цепное правило гласит, что для функции F (x), которую можно записать как (f о g) (x) производная F (x) равна f '(g (x)) g' (x). Для сложных задач с производной неявной функции это означает, что можно вывести различные отдельные части уравнения, а затем объединить результаты.
-
В качестве простого примера предположим, что нам нужно найти производную от sin (3x2 + x) как часть более крупной задачи о производной неявной функции для уравнения sin (3x2 + х) + у3 = 0. Если представить грех (3x2 + x) как f (x) и 3x2 + x как g (x), мы можем найти производную следующим образом:
-
- f '(g (x)) g' (x)
- (грех (3x2 + x)) '× (3x2 + х) '
- cos (3x2 + х) × (6х + 1)
- (6x + 1) cos (3x2 + х)
-
Шаг 3. Для уравнений с переменными x, y и z найдите (dz / dx) и (dz / dy)
Хотя это необычно для базового исчисления, в некоторых сложных приложениях может потребоваться вывод неявных функций от более чем двух переменных. Для каждой дополнительной переменной необходимо найти ее дополнительную производную по x. Например, если у вас есть x, y и z, вы должны искать и (dz / dy), и (dz / dx). Мы можем сделать это, выведя уравнение относительно x дважды - во-первых, мы будем вводить (dz / dx) каждый раз, когда получаем член, содержащий z, а во-вторых, мы вставляем (dz / dy) каждый раз, когда получаем z. После этого остается только разрешить (dz / dx) и (dz / dy).
- Например, предположим, что мы пытаемся вывести x3z2 - 5xy5г = х2 + y3.
-
Во-первых, давайте произведем от x и введем (dz / dx). Не забудьте при необходимости применить правило продукта!
-
- Икс3z2 - 5xy5г = х2 + y3
- 3x2z2 + 2x3z (dz / dx) - 5 лет5z - 5xy5(dz / dx) = 2x
- 3x2z2 + (2x3z - 5xy5) (dz / dx) - 5 лет5z = 2x
- (2x3z - 5xy5) (dz / dx) = 2x - 3x2z2 + 5лет5z
- (dz / dx) = (2x - 3x2z2 + 5лет5z) / (2x3z - 5xy5)
-
-
Теперь сделайте то же самое для (dz / dy)
-
- Икс3z2 - 5xy5г = х2 + y3
- 2x3z (dz / dy) - 25xy4z - 5xy5(dz / dy) = 3y2
- (2x3z - 5xy5) (dz / dy) = 3y2 + 25xy4z
- (dz / dy) = (3y2 + 25xy4z) / (2x3z - 5xy5)
-
