Теорема Пифагора элегантно и практично описывает длины сторон прямоугольного треугольника, поэтому эта теорема широко используется и сегодня. Эта теорема утверждает, что для любого прямоугольного треугольника сумма квадратов неугловых сторон равна квадрату гипотенузы. Другими словами, для прямоугольного треугольника с перпендикулярными сторонами a и b и гипотенузой c а2 + b2 = c2.
Теорема Пифагора - один из основных столпов элементарной геометрии. Существует бесчисленное множество приложений, использующих эту теорему, например, чтобы упростить определение расстояния между двумя точками на координатной плоскости.
Шаг
Метод 1 из 2: поиск сторон прямоугольного треугольника
Шаг 1. Убедитесь, что ваш треугольник прямоугольный
Теорема Пифагора применима только к прямоугольным треугольникам, поэтому, прежде чем продолжить, очень важно убедиться, что ваши треугольники соответствуют свойствам прямоугольных треугольников. К счастью, есть один фактор, который может указывать на то, что ваш треугольник прямоугольный. Ваш треугольник должен иметь угол 90 градусов.
В качестве знака прямоугольные треугольники часто помечаются маленькими квадратами для обозначения углов в 90 градусов, без использования изогнутых «кривых». Ищите именно эту отметку в углу вашего треугольника
Шаг 2. Задайте переменные a, b и c для сторон вашего треугольника
В теореме Пифагора переменные a и b представляют стороны, которые встречаются в прямоугольном треугольнике, а переменная c представляет гипотенузу - длинную сторону, противоположную прямому углу. Итак, для начала отметьте короткие стороны вашего треугольника переменными a и b (неважно, поменяете ли вы их местами), а гипотенузу - переменной c.
Шаг 3. Решите, какую сторону треугольника вы хотите решить
Теорема Пифагора позволяет математикам находить длину любой стороны прямоугольного треугольника, если им известны длины двух других сторон. Определите, какая сторона неизвестна - a, b и / или c. Если длина одной из ваших сторон неизвестна, вы готовы двигаться дальше.
- Например, мы знаем, что длина гипотенузы треугольника равна 5, а длина одной из других сторон равна 3, но мы не уверены в длине третьей стороны. В этом случае мы знаем, что ищем длину третьей стороны, и, поскольку мы знаем длины двух других, мы можем решить эту проблему! Мы будем работать над этой проблемой, выполнив следующие шаги.
- Если вы не знаете длины двух сторон, вы должны знать одну из сторон, чтобы иметь возможность использовать теорему Пифагора. Основные тригонометрические функции могут помочь вам, если вы знаете одну сторону треугольника, которая не наклонена.
Шаг 4. Вставьте в уравнение уже известные двусторонние значения
Подставьте длины сторон треугольника в уравнение a2 + b2 = c2. Помните, что a и b - это не наклонные стороны, а c - гипотенуза.
В нашем примере мы знаем длину одной из сторон и гипотенузу (3 и 5), поэтому уравнение принимает вид 3² + b² = 5²
Шаг 5. Квадрат
Чтобы решить ваше уравнение, начните с возведения известных сторон в квадрат. В качестве альтернативы, если вам будет проще, вы можете оставить стороны в квадрате и возвести их в квадрат позже.
-
В нашем примере возведем в квадрат 3 и 5 так, чтобы мы получили
Шаг 9. да
Шаг 25.. Мы можем записать уравнение как 9 + b² = 25.
Шаг 6. Переместите неизвестную переменную в другую часть уравнения
При необходимости используйте базовые алгебраические операции, чтобы неизвестная переменная переместилась на другую сторону уравнения, а квадрат двух других переменных - на другую сторону. Если вы хотите найти длину гипотенузы, c уже находится на другой стороне уравнения, поэтому вам не нужно ничего делать, чтобы переместить ее.
В нашем примере текущее уравнение - 9 + b² = 25. Чтобы переместить b², вычтите обе части уравнения на 9, так что результат будет b² = 16
Шаг 7. Квадратный корень из обеих частей уравнения
Теперь только одна переменная возведена в квадрат с одной стороны и число - с другой. Квадратный корень из обеих сторон, чтобы найти длину неизвестной стороны.
-
В нашем примере b² = 16, извлечение квадратного корня из обеих сторон дает b = 4. Таким образом, мы можем сказать, что длина неизвестной стороны треугольника равна
Шаг 4..
Шаг 8. Используйте теорему Пифагора, чтобы найти стороны правильного прямоугольного треугольника
Причина, по которой теорема Пифагора широко используется сегодня, заключается в том, что ее можно применять в бесчисленных практических ситуациях. Научитесь знать прямоугольные треугольники в реальной жизни - в любой ситуации, когда два объекта или прямые линии встречаются под прямым углом, а третий объект или линия соединяет два объекта или линии по диагонали, вы можете использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину стороны другой, если известны длины двух других сторон.
-
Давайте попробуем реальный пример, который немного сложнее. Лестница прислоняется к зданию. Расстояние от подножия лестницы до стены - 5 метров. Высота лестницы достигает 20 метров. Какова длина лестницы?
-
5 метров от стены и 20 метров высотой говорят нам о длинах сторон треугольника. Поскольку стена и земля (предполагается) образуют прямой угол, а лестница по диагонали опирается на стену, такое расположение можно рассматривать как прямоугольный треугольник с длинами сторон a = 5 и b = 20. Длина лестницы является гипотенузой., поэтому значение c неизвестно. Воспользуемся теоремой Пифагора:
- a² + b² = c²
- (5) ² + (20) ² = c²
- 25 + 400 = c²
- 425 = c²
- корень (425) = c
- с = 20,6. Примерная длина лестницы составляет 20,6 метров.
-
Метод 2 из 2: Расчет расстояния между двумя точками на плоскости X-Y
Шаг 1. Найдите две точки на плоскости X-Y
Теорема Пифагора может быть легко использована для вычисления расстояния по прямой между двумя точками на плоскости X-Y. Все, что вам нужно знать, это координаты x и y двух точек. Обычно эти координаты записываются вместе в виде (x, y).
Чтобы найти расстояние между этими двумя точками, мы будем рассматривать каждую точку как один из непрямых углов прямоугольного треугольника. Это позволит легко найти длины сторон a и b, а затем вычислить гипотенузу c, которая является расстоянием между двумя точками
Шаг 2. Нарисуйте две точки на изображении
В обычной плоскости X-Y каждая точка (x, y), x представляет собой горизонтальную координату, а y представляет собой вертикальную координату. Вы можете найти расстояние между двумя точками, не рисуя его, но это даст вам визуальное изображение, которое вы можете использовать, чтобы увидеть, правильный ли ваш ответ.
Шаг 3. Найдите длину не наклонной стороны вашего треугольника
Используя две точки как углы треугольника, примыкающего к гипотенузе, найдите длины сторон a и b треугольника. Вы можете сделать это с помощью изображения или формулы | x1 - Икс2| для горизонтальной стороны и | y1 - у2| для вертикальной стороны с (x1, y1) в качестве первой точки и (x2, y2) как второй пункт.
-
Пусть наши две точки - это (6, 1) и (3, 5). Длина горизонтальной стороны нашего треугольника равна:
- | х1 - Икс2|
- |3 - 6|
-
| -3 | =
Шаг 3.
-
Длина вертикальной стороны составляет:
- | y1 - у2|
- |1 - 5|
-
| -4 | =
Шаг 4.
- Итак, в нашем прямоугольном треугольнике сторона a = 3 и сторона b = 4.
Шаг 4. Используйте теорему Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы
Расстояние между двумя точками - это длина гипотенузы треугольника, две стороны которого вы только что нашли. Используйте теорему Пифагора, чтобы найти гипотенузу, где a - длина первой стороны, а b - длина второй стороны.
-
В нашем примере мы используем точки (3, 5) и (6, 1) с длинами сторон 3 и 4, поэтому мы можем найти гипотенузу следующим образом:
-
- (3) ² + (4) ² = c²
- c = корень (9 + 16)
- c = корень (25)
-
c = 5. Расстояние между (3, 5) и (6, 1) равно
Шаг 5..
-
подсказки
-
Гипотенуза всегда:
- напротив прямого угла (не касаясь прямого угла)
- самая длинная сторона в прямоугольном треугольнике
- называется c в теореме Пифагора
- root (x) означает квадратный корень из x.
- Не забывайте всегда проверять свои ответы. Если ваш ответ кажется неправильным, попробуйте еще раз и попробуйте еще раз.
- Если треугольник не является прямоугольным, вам нужна дополнительная информация, а не только длины двух других сторон.
- Другой способ проверки - самая длинная сторона противоположна наибольшему углу, а самая короткая сторона противоположна наименьшему углу.
- Цифры являются ключом к записи правильных значений для a, b и c. Если вы работаете над проблемой рассказа, обязательно сначала запишите проблему в виде картинки.
- Если вы знаете длину только одной стороны, теорема Пифагора не работает. Попробуйте использовать тригонометрию (sin, cos, tan) или соотношения 30-60-90 / 45-45-90.
