Магические квадраты стали популярными с изобретением математических игр, таких как судоку. Магический квадрат - это такое расположение чисел в квадрате, при котором сумма каждой строки, столбца и диагонали равна фиксированному числу, называемому «магической константой». Эта статья расскажет вам, как решать все виды магических квадратов, как в нечетном порядке, так и в четном порядке, не кратном четырем, или даже в порядке, кратном четырем.
Шаг
Метод 1 из 3: решение магических квадратов нечетного порядка
Шаг 1. Рассчитайте магическую константу
Вы можете найти это число, используя простую математическую формулу, где n = количество строк или столбцов в магическом квадрате. Например, для магического квадрата 3x3 n = 3. Магическая константа = [n * (n * n + 1)] / 2. Итак, в примере с квадратом 3x3:
- Сумма = [3 * (3 * 3 + 1)] / 2
- Сумма = [3 * (9 + 1)] / 2
- Количество = (3 * 10) / 2
- Количество = 30/2
- Магическая константа для магического квадрата 3x3 составляет 30/2, то есть 15.
- Сумма всех строк, столбцов и диагоналей должна составлять это число.
Шаг 2. Поместите цифру 1 в средний квадрат верхнего ряда
Именно здесь вы всегда начинаете с магических квадратов нечетного порядка, независимо от того, насколько они велики или малы. Итак, если у вас есть магический квадрат 3x3, поместите 1 в квадрат 2 (второй квадрат слева или справа). Другой пример, для магического квадрата 15x15 поместите цифру 1 в квадрат 8 (восьмой квадрат слева или справа).
Шаг 3. Заполните оставшиеся числа, используя шаблон «один квадрат вверх, один квадрат вправо»
Вы всегда будете вводить числа последовательно (1, 2, 3, 4 и т. Д.), Перемещаясь на одну строку вверх, а затем на один столбец вправо. Вскоре вы заметите, что для размещения числа 2 вы переместитесь за верхний ряд за пределы магического квадрата. Это не имеет значения, потому что даже если вы всегда вводите числа на один квадрат вверх, справа от этого поля, есть три исключения, которые также имеют шаблонные и предсказуемые правила:
- Если движение заполнения числа приводит вас к квадрату, который проходит через верхний ряд магического квадрата, оставайтесь в столбце этого квадрата, но поместите число в нижний ряд этого столбца.
- Если движение нумерации приводит вас к коробке, которая проходит через крайний правый столбец магического квадрата, оставайтесь в строке этого квадрата, но поместите числа в крайний левый столбец этой строки.
- Если движение заполнения чисел заставляет вас перейти к заполненному блоку, вернитесь к предыдущему заполненному блоку и поместите следующий номер под этим полем.
Метод 2 из 3: решение магических квадратов четного порядка, не кратных четырем
Шаг 1. Разберитесь, что подразумевается под магическим квадратом четного порядка, не кратного четырем
Всем известно, что четные числа делятся на два, но в магических квадратах существуют разные методологии решения квадратов четного порядка, которые не кратны четырем (один даже магический квадрат), и квадратов, кратных четырем (дважды четный магический квадрат)..
- Квадраты четного порядка, не кратные четырем, имеют на каждой стороне количество квадратов, которые делятся на два, но не делятся на четыре.
- Магические квадраты четного порядка, которые не кратны четырем, наименьшие - 6x6, потому что магические квадраты 2x2 не могут быть созданы.
Шаг 2. Рассчитайте магическую константу
Используйте тот же метод, что и с магическим квадратом нечетного порядка: магическая константа = [n * (n * n + 1)] / 2, где n = количество квадратов на каждой стороне. Итак, в примере с магическим квадратом 6x6:
- Сумма = [6 * (6 * 6 + 1)] / 2
- Сумма = [6 * (36 + 1)] / 2
- Количество = (6 * 37) / 2
- Количество = 222/2
- Магическая константа для магического квадрата 6x6 равна 222/2, то есть 111.
- Сумма всех строк, столбцов и диагоналей должна составлять это число.
Шаг 3. Разделите магический квадрат на четыре квадранта равного размера
Отметьте их буквами A (вверху слева), C (вверху справа), D (внизу слева) и B (внизу справа). Чтобы узнать, насколько большим должен быть каждый квадрант, просто разделите количество квадратов в каждой строке или столбце на два.
Итак, для квадрата 6x6 размер каждого квадранта составляет 3x3 квадрата
Шаг 4. Дайте каждому квадранту диапазон чисел
Квадрант A получает четверть первых чисел, квадрант B - четверть вторых чисел, квадрант C - четверть третьих чисел, а квадрант D - последняя четверть общего диапазона чисел для магического квадрата 6x6.
В примере с квадратом 6x6 квадрант A будет пронумерован от 1 до 9, квадрант B от 10 до 18, квадрант C от 19 до 27 и квадрант D от 28 до 36
Шаг 5. Решите каждый квадрант, используя методологию магических квадратов нечетного порядка
Квадрант A будет легко заполнить, потому что он начинается с цифры 1, как и магический квадрат в целом. Но для квадрантов от B до D мы начнем с необычных чисел 10, 19 и 28 в этом примере.
- Думайте о первом числе в каждом квадранте, как о единице. Поместите его в центральную коробку в верхнем ряду каждого квадранта.
- Думайте о каждом квадранте, как о собственном магическом квадрате. Даже если ящик находится в соседнем квадранте, игнорируйте его и действуйте в соответствии с правилом «исключения», соответствующим ситуации.
Шаг 6. Создайте блики A и D
Если вы попытаетесь сложить столбцы, строки и диагонали на этом этапе, вы заметите, что они еще не равны магической константе. Вам нужно будет поменять местами несколько квадратов между верхним левым и нижним левым квадрантами, чтобы завершить магический квадрат. Мы будем называть эти поменяемые местами области «Основные моменты A» и «Основные моменты D.» (Примечания:
объяснения в этом и следующем шаге более специфичны для магических квадратов 6x6, которые могут не подходить для больших магических квадратов).
- Карандашом отметьте все квадраты в верхнем ряду, пока не дойдете до среднего положения квадрата квадранта A. (Примечание: медиана может быть найдена по формуле n = (4 * m) + 2, где m - медиана). Итак, в квадрате 6x6 вы должны отметить только квадрат 1 (который содержит число 8 в поле), но в квадрате 10x10 вы должны отметить квадраты 1 и 2 (которые содержат числа 17 и 24 в обоих квадратах, соответственно.).).
- Отметьте область квадратом, используя поля, отмеченные как верхний ряд. Если вы отметите только один квадрат, то ваш квадрат будет только этим квадратом. Мы будем называть эту область Highlight A-1.
- Итак, для магического квадрата 10x10 Highlight A-1 будет состоять из квадратов 1 и 2 в строках 1 и 2, составляя квадрат 2x2 в верхнем левом углу квадранта.
- В строке ниже Выделите A-1, пропустите квадраты в первом столбце, затем отметьте квадраты в центре квадранта. Мы назовем этот средний ряд Highlight A-2.
- Выделите A-3 квадрат, идентичный A-1, но в нижнем левом углу квадранта.
- Выделения A-1, A-2 и A-3 вместе образуют Выделение A.
- Повторите этот процесс в квадранте D, создав идентичные области выделения, называемые выделением D.
Шаг 7. Поменяйте местами выделения A и D
Это один обмен за другим. Перемещайте и чередуйте квадранты между квадрантом A и квадрантом D, вообще не меняя порядок (см. Рисунок). Когда вы это сделаете, все строки, столбцы и диагонали в магическом квадрате должны соответствовать вычисленной вами магической константе.
Метод 3 из 3: решение магических квадратов четного порядка, кратного четырем
Шаг 1. Разберитесь, что подразумевается под магическим квадратом четного порядка, кратного четырем
Магический квадрат четного порядка, не кратный четырем, имеет на каждой стороне несколько квадратов, которые делятся на два, но не делятся на четыре. Магический квадрат, кратный четырем четным порядкам, имеет количество квадратов на каждой стороне, кратное четырем.
Наименьшее число, кратное четырем, равняется 4x4
Шаг 2. Рассчитайте магическую константу
Используйте тот же метод, что и с магическим квадратом нечетного порядка: магическая константа = [n * (n * n + 1)] / 2, где n = количество квадратов на каждой стороне. Итак, на примере магического квадрата 4х4:
- Сумма = [4 * (4 * 4 + 1)] / 2
- Сумма = [4 * (16 + 1)] / 2
- Количество = (4 * 17) / 2
- Количество = 68/2
- Магическая константа для магического квадрата 4x4 составляет 68/2, что составляет 34.
- Сумма всех строк, столбцов и диагоналей должна составлять это число.
Шаг 3. Создайте блики от A до D
В каждом углу магического квадрата отметьте мини-квадрат со стороной n / 4, где n = длина стороны магического квадрата. Обозначьте выделением A, B, C и D против часовой стрелки.
- В квадрате 4x4 вы отметите только четыре угла квадрата.
- В квадрате 8x8 каждый Highlight будет площадью 2x2 в своем углу.
- В квадрате 12x12 каждый Highlight будет областью 3x3 в своем углу и так далее.
Шаг 4. Создайте центральную подсветку
Отметьте все квадраты в середине магического квадрата на площади квадрата длиной n / 2, где n = длина стороны магического квадрата. Центральные блики вообще не должны попадать в блики от A до D, а только пересекаться с каждым из них в углу.
- В квадрате 4x4 центральное выделение будет площадью 2x2 в центре.
- В квадрате 8x8 центром Highlight будет область 4x4 в центре и так далее.
Шаг 5. Залейте магический квадрат, но только в выделенные области
Начните заполнять число в магическом квадрате слева направо, но вводите число, только если квадрат находится в поле «Выделить». Итак, для сетки 4x4 вы должны заполнить следующие поля:
- Номер 1 в верхнем левом поле и 4 в верхнем правом поле.
- Цифры 6 и 7 в средних квадратах второго ряда.
- Цифры 10 и 11 находятся в средних квадратах третьего ряда.
- Число 13 в нижнем левом поле и 16 в правом нижнем поле.
Шаг 6. Заполните оставшиеся квадраты магического квадрата в обратном порядке
Этот шаг в основном противоположен предыдущему. Начните снова с верхнего левого поля, но на этот раз пропустите все квадраты в выделенной области и заполните невыделенные квадраты в обратном порядке подсчета. Начните с наибольшего числа в вашем диапазоне чисел. Итак, для магического квадрата 4x4 вы должны заполнить следующие поля:
- Цифры 15 и 14 находятся в средних квадратах первого ряда.
- Число 12 в крайнем левом квадрате и 9 в крайнем правом квадрате во втором ряду.
- Числа 8 в крайнем левом квадрате и 5 в крайнем правом квадрате в третьем ряду.
- Цифры 3 и 2 в средних квадратах четвертого ряда.
- На этом этапе все столбцы, строки и диагонали должны составлять вычисленную вами магическую константу.
