Как учить алгебру (с картинками)

2024 Автор: Jason Gerald | [email protected]. Последнее изменение: 2024-01-16 19:54

Овладение алгеброй необходимо для продолжения практически любого вида математики, будь то в начальной или средней школе. Каждый математический уровень имеет фундамент, поэтому каждый математический уровень очень важен. Однако даже самые базовые алгебраические навыки могут быть трудными для новичков, когда они впервые сталкиваются с ними. Если у вас возникли проблемы с базовыми темами по алгебре, не волнуйтесь - с небольшим дополнительным объяснением, несколькими простыми примерами и несколькими советами по улучшению своих навыков вы скоро будете решать задачи по алгебре как профессионал.

Шаг

Часть 1 из 5: Изучение основных правил алгебры

Шаг 1. Просмотрите свои основные математические операции

Чтобы начать изучать алгебру, вам необходимо знать базовые математические навыки, такие как сложение, вычитание, умножение и деление. Эта математика в начальной / начальной школе очень важна, прежде чем вы начнете изучать алгебру. Если вы не овладеете этими навыками, вам будет сложно освоить более сложные концепции, изучаемые в алгебре. Если вам нужно освежить в памяти эти операции, попробуйте нашу статью об основных математических навыках.

Вам не обязательно уметь выполнять эти базовые операции в уме, чтобы решать задачи по алгебре. Многие классы алгебры позволяют использовать калькулятор, чтобы сэкономить время при выполнении этих простых операций. Однако вы должны хотя бы знать, как выполнять эти операции без калькулятора, когда вам не разрешено использовать калькулятор

Шаг 2. Знайте порядок действий

Одна из самых сложных вещей при решении алгебраических уравнений для новичка - это знать порядок, в котором они начинаются. К счастью, существует определенный порядок решения этих проблем: сначала выполните любую математическую операцию в скобках, затем выполните экспоненты, затем умножьте, затем разделите, затем сложите и, наконец, вычтите. Полезным средством запоминания порядка этих операций являются аббревиатуры KPKBJK. Узнайте, как применить порядок операций здесь. Подводя итог, порядок операций:

K неудача
п подъем / экспонента
K Али
B опять таки
J умла
K креветка
Порядок операций важен в алгебре, потому что выполнение операций в задаче алгебры в неправильном порядке может иногда повлиять на ответ. Например, если мы решим математическую задачу 8 + 2 × 5, если мы сначала сложим 2 и 8, мы получим 10 × 5 = 50, но если мы сначала умножим 2 и 5, мы получим 8 + 10 =

Шаг 18.. Только второй ответ правильный.

Шаг 3. Умейте использовать отрицательные числа

В алгебре очень распространены отрицательные числа. Поэтому перед тем, как начать изучать алгебру, рекомендуется изучить, как складывать, вычитать, умножать и делить отрицательные числа. Вот некоторые основы отрицательных чисел, которые следует запомнить - для получения дополнительной информации ознакомьтесь с нашими статьями о сложении и вычитании отрицательных чисел, а также делении и умножении отрицательных чисел.

В числовой строке отрицательная версия числа находится на том же расстоянии от нуля, что и положительное число от нуля, но в противоположном направлении.
Добавление двух отрицательных чисел делает число еще более отрицательным (другими словами, цифра будет больше, но поскольку число отрицательное, значение будет меньше)
Два отрицательных знака нейтрализуют друг друга - вычитание отрицательного числа равносильно сложению положительного числа.
Умножение или деление двух отрицательных чисел дает положительный ответ.
Умножение или деление положительного числа и отрицательного числа дает отрицательный ответ.

Шаг 4. Умейте структурировать длинные вопросы

В то время как простые задачи алгебры могут быть легко решены, более сложные задачи могут потребовать много шагов. Чтобы избежать ошибок, держите свою работу организованной, начиная с новой строки каждый раз, когда делаете шаг к решению задачи. Если вы работаете с двусторонним уравнением, попробуйте поставить все знаки равенства («=») под другими знаками равенства. Таким образом, если вы где-то допустите ошибку, ее будет легче найти и исправить.

Например, чтобы решить уравнение 9/3 - 5 + 3 × 4, мы могли бы структурировать нашу задачу следующим образом:

9/3 - 5 + 3 × 4

9/3 - 5 + 12

3 - 5 + 12

3 + 7

Шаг 10.

Часть 2 из 5: Понимание переменных

Шаг 1. Ищите символы, которые не являются числами

В алгебре вы начнете замечать, что в ваших математических задачах появляются буквы и символы, а не только числа. Эти буквы и символы называются переменными. Переменные не так запутаны, как может показаться на первый взгляд - это просто способ записать числа с неизвестными значениями. Ниже приведены лишь несколько распространенных примеров переменных в алгебре:

Буквы типа x, y, z, a, b и c
Греческие буквы, такие как тета или
Обратите внимание, что не все символы являются неизвестными переменными. Например, пи или всегда равно примерно 3,1459.

Шаг 2. Думайте о переменных как о «неизвестных» числах

Как упоминалось выше, переменные - это просто числа с неизвестными значениями. Обычно ваша цель в задачах алгебры - узнать значение переменной - думайте о переменной как о «загадочном числе», которое вы пытаетесь найти.

Например, в уравнении 2x + 3 = 11, наша переменная - x. Это означает, что есть несколько значений, которые занимают место x, чтобы левая часть уравнения равнялась 11. Поскольку 2 × 4 + 3 = 11, в этом случае x =

Шаг 4..
Самый простой способ начать понимать переменные - заменить их вопросительными знаками в задачах по алгебре. Например, мы можем переписать уравнение 2 + 3 + x = 9 как 2 + 3 +?

= 9. Это облегчает нам понимание того, что мы пытаемся сделать - нам просто нужно найти значение, которое нужно добавить к 2 + 3 = 5, чтобы получить 9. И снова, конечно, ответ таков:

Шаг 4..

Шаг 3. Если переменная встречается более одного раза, упростите переменную

Что делать, если одна и та же переменная встречается в уравнении более одного раза? Хотя эта ситуация может показаться трудной для решения, на самом деле вы можете обращаться с переменными как с обычными числами - другими словами, вы можете складывать их, вычитать их и так далее, если вы только комбинируете одинаковые переменные. Другими словами, x + x = 2x, но x + y не равно 2xy.

Например, давайте посмотрим на уравнение 2x + 1x = 9. В этой задаче мы можем сложить 2x и 1x, чтобы получить 3x = 9. Поскольку 3 x 3 = 9, мы знаем, что x =

Шаг 3..
Еще раз обратите внимание, что вы можете складывать только одни и те же переменные вместе. В уравнении 2x + 1y = 9 мы не можем объединить 2x и 1y, потому что это разные переменные.
Это также применимо, когда одна переменная имеет другой показатель степени, чем другая переменная. Например, в уравнении 2x + 3x² = 10, мы не можем объединить 2x и 3x² потому что переменная x имеет другой показатель степени. Посмотрите, как добавить экспоненты для получения дополнительной информации.

Часть 3 из 5: Учимся решать уравнения "отрицанием"

Шаг 1. Попробуйте выделить переменные в алгебраических уравнениях

Решение уравнений алгебры обычно означает определение значения переменной. Алгебраические уравнения обычно состоят из чисел и / или переменных с обеих сторон, например: x + 2 = 9 × 4. Чтобы найти значение переменной, вы должны изолировать переменную с одной стороны от знака равенства. Все, что останется по ту сторону знака равенства, и есть ваш ответ.

В примере (x + 2 = 9 × 4), чтобы изолировать x в левой части уравнения, мы должны исключить "+ 2". Для этого нам нужно только вычесть 2 из этой стороны, в результате чего получится x = 9 × 4. Однако, чтобы обе части уравнения оставались равными, мы также должны вычесть 2 из другой стороны. Это оставляет нам x = 9 × 4 - 2. Следуя порядку операций, мы сначала умножаем, затем вычитаем, что дает наш ответ x = = 36 - 2 = 34.

Шаг 2. Исключите сложение вычитанием (и наоборот)

Как мы только что видели выше, выделение x с одной стороны от знака равенства обычно означает удаление чисел рядом с ним. Для этого проделаем «обратную» операцию с обеими сторонами уравнения. Например, в уравнении x + 3 = 0, поскольку мы видим «+ 3» после нашего x, мы поставим «-3» с обеих сторон. «+3» и «-3», оставив только x и «-3» по другую сторону от знака равенства, например: x = -3.

В общем, сложение и вычитание похожи на «обратное» - вычислить одну операцию, чтобы отбросить другую. См. ниже:

Для сложения вычтите. Пример: x + 9 = 3 → x = 3 - 9

Для вычитания сложите. Пример: x - 4 = 20 → x = 20 + 4

Шаг 3. Исключите умножение на деление (и наоборот)

Умножение и деление немного сложнее, чем сложение и вычитание, но эти вычисления имеют ту же «обратную» взаимосвязь. Если вы видите «× 3» на одной стороне, вы отрицаете это, разделив обе стороны на 3 и так далее.

При умножении и делении вы должны выполнить обратную операцию для всех чисел, стоящих по другую сторону от знака равенства, даже если эта сторона содержит более одного числа. См. ниже:

Для умножения разделите. Пример: 6x = 14 + 2 → x = (14 + 2) /6

Для деления умножьте. Пример: x / 5 = 25 → x = 25 × 5

Шаг 4. Удалите показатель степени, найдя корень (и наоборот)

Экспоненты - это довольно продвинутая тема предалгебры. Если вы не знаете, как это сделать, прочтите нашу статью об основных экспонентах для получения дополнительной информации. «Обратный» экспоненты - это корень, имеющий то же число, что и показатель степени. Например, величина, обратная экспоненте ² - квадратный корень (√), обратная экспоненте ³ кубический корень (³), и так далее.

Это может немного сбивать с толку, но в этих случаях вы ищете корни обеих сторон при работе с экспонентой. Другими словами, вы выполняете возведение в степень для обеих сторон, когда работаете с корнем. См. ниже:

Для экспоненты найдите корень. Пример: x² = 49 → х = √49

Для корней поднять. Пример: x = 12 → x = 12²

Часть 4 из 5: отточите свои навыки алгебры

Шаг 1. Используйте картинки, чтобы вопросы были понятнее

Если вам сложно представить себе задачу по алгебре, попробуйте использовать диаграмму или картинку, чтобы проиллюстрировать свое уравнение. Вы даже можете попробовать использовать кучу физических объектов (например, блоков или монет), если они у вас есть.

Например, давайте решим уравнение x + 2 = 3, используя квадрат (☐)

х +2 = 3

☒+☐☐ =☐☐☐

На этом этапе мы вычтем 2 с обеих сторон, удалив 2 квадрата (☐☐) с обеих сторон:

☒+☐☐-☐☐ =☐☐☐-☐☐

= ☐ или x =

Шаг 1.
В качестве другого примера давайте попробуем 2x = 4

☒☒ =☐☐☐☐

На этом этапе мы разделим две стороны, разделив поля с каждой стороны на две группы:

☒|☒ =☐☐|☐☐

= или x =

Шаг 2.

Шаг 2. Используйте «проверку здравого смысла» (особенно для вопросов по рассказам)

При преобразовании задач рассказа в алгебру попробуйте проверить свои формулы, введя простые значения для переменных. Имеет ли смысл ваше уравнение при x = 0? Когда х = 1? Когда х = -1? Легко совершить простую ошибку, написав p = 6d, когда вы имеете в виду p = d / 6, но эти вещи будет легко заметить, если вы быстро проведете здравый смысл в своей работе, прежде чем двигаться дальше.

Например, нам говорят, что футбольное поле на 30 м длиннее, чем ширина. Мы используем уравнение p = l + 30, чтобы представить эту проблему. Мы можем проверить, имеет ли это уравнение смысл, введя простые значения для l. Например, если поле имеет ширину l = 10 м, длина будет 10 + 30 = 40 м. Если ширина 30 м, длина 30 + 30 = 60 м и так далее. Это уравнение имеет смысл - мы ожидаем, что это поле будет иметь большую длину по мере увеличения ширины, поэтому это уравнение имеет смысл

Шаг 3. Обратите внимание, что ответы в алгебре не всегда являются целыми числами

Ответы по алгебре и другим продвинутым формам не всегда являются простыми круглыми числами. Это число может быть десятичным, дробным или иррациональным числом. Калькулятор может помочь вам найти эти сложные ответы, но имейте в виду, что ваш учитель может потребовать, чтобы вы записывали ответы в точной форме, а не в сложной десятичной форме.

Например, мы упростим алгебраическое уравнение до x = 1250⁷. Если мы введем 1250⁷ в калькуляторе мы получим очень много десятичных знаков (кроме того, поскольку экран калькулятора не очень большой, калькулятор не может отображать все ответы). В этом случае мы можем записать наш ответ как только 1250⁷ или упростите ответ, записав его в научных обозначениях.

Шаг 4. Когда вы почувствуете себя уверенно в базовой алгебре, попробуйте разложить на множители

Одна из самых сложных алгебраических способностей - это факторинг - своего рода ярлык для превращения сложных уравнений в более простые формы. Факторинг - это полу-продвинутая тема алгебры, поэтому подумайте о том, чтобы проконсультироваться со статьей, указанной выше, если у вас возникнут проблемы с ее освоением. Ниже приведены лишь несколько быстрых советов по факторингу уравнений:

Уравнение вида ax + ba разложено на a (x + b). Пример: 2x + 4 = 2 (x + 2)
Уравнение формы топор² + bx разлагается на cx ((a / c) x + (b / c)), где c - наибольшее число, которое может делить a и b без остатка. Пример: 3 года² + 12у = 3у (у + 4)
Уравнение вида x² + bx + c разлагается на (x + y) (x + z), где y × z = c и yx + zx = bx. Пример: x² + 4х + 3 = (х + 3) (х + 1).

Шаг 5. Практика, практика и практика

Прогресс в алгебре (и других видах математики) требует много тяжелой работы и повторений. Не волнуйтесь - если вы будете уделять внимание в классе, выполнять все задания и обращаться за помощью к учителю или другим ученикам, когда вам это нужно, алгебра станет привычкой.

Шаг 6. Попросите учителя помочь вам разобраться в сложных алгебраических темах

Если у вас возникли проблемы с пониманием алгебры, не волнуйтесь - вам не обязательно изучать ее в одиночку. Ваш учитель - это первый человек, к которому вы должны обратиться за вопросами. После урока вежливо попросите своего учителя о помощи. Хороший учитель обычно будет готов заново объяснить тему дня на внеурочной встрече, и ваш учитель может предоставить вам дополнительные практические материалы.

Если по какой-либо причине ваш учитель не может вам помочь, спросите его или ее о дополнительных вариантах обучения в вашей школе. Во многих школах есть какие-то внеклассные программы, которые помогут вам получить дополнительное время и внимание, необходимые для начала овладения алгеброй. Помните, что использовать бесплатную помощь, доступную вам, нечего стыдиться - это признак того, что вы достаточно умны, чтобы решить свою проблему

Часть 5 из 5: изучение тем среднего уровня

Шаг 1. Узнайте, как построить график уравнения x / y

Графики могут быть ценным инструментом в алгебре, потому что они позволяют вам представить идеи, требующие чисел, в форме простых для понимания картинок. Как правило, в алгебре для начинающих задачи построения графиков ограничиваются уравнениями с двумя переменными (обычно x и y) и представлены в виде простых двумерных графиков с осью x и осью y. С помощью этих уравнений все, что вам нужно сделать, это ввести значение для x, а затем выполнить поиск y (или наоборот), чтобы получить два числа, которые станут точкой на графике.

Например, в уравнении y = 3x, если мы введем 2 вместо x, мы получим y = 6. Это означает, что точка (2, 6) (два шага вправо от центра графика и шесть шагов вверх от центра графика) является частью графика этого уравнения.
Уравнения вида y = mx + b (где m и b - числа) очень распространены в базовой алгебре. Эти уравнения всегда имеют градиент или наклон m и пересекают ось y в точке y = b.

Шаг 2. Научитесь устранять неравенство

Что вы делаете, если в вашем уравнении нет знака равенства? Оказывается, не слишком отличается от того, что вы обычно делаете. Для неравенств, в которых используются знаки вроде> («больше») и <(«меньше чем»), решайте как обычно. Вы оставите ответ, который будет меньше или больше вашей переменной.

Например, с уравнением 3> 5x - 2 мы решим его так же, как и обычное уравнение:

3> 5x - 2

5> 5x

1> x, или х <1.
Это означает, что любое число меньше единицы может быть значением x. Другими словами, x может быть 0, -1, -2 и так далее. Если мы подставим эти числа в уравнение для x, мы всегда получим ответ меньше 3.

Шаг 3. Работа над квадратными уравнениями

Одна из алгебраических тем, с которой могут возникнуть проблемы у новичков, - это решение квадратных уравнений. Квадрат представляет собой уравнение вида топор² + bx + c = 0, где a, b и c - числа (за исключением того, что a не может быть 0). Эти уравнения решаются по формуле x = [-b +/- (b² - 4ac)] / 2a. Будьте осторожны - знак +/- означает, что вам нужно найти ответы на вопросы сложения и вычитания, чтобы у вас было два ответа на эти типы вопросов.

Например, решим квадратную формулу 3x² + 2х -1 = 0.

х = [-b +/- (b² - 4ac)] / 2a

х = [-2 +/- (2² - 4(3)(-1))]/2(3)

х = [-2 +/- (4 - (-12))] / 6

х = [-2 +/- (16)] / 6

х = [-2 +/- 4] / 6

х = - 1 а также 1/3

Шаг 4. Поэкспериментируйте с системами уравнений

Решение нескольких уравнений одновременно может показаться очень сложным, но когда вы работаете с простыми алгебраическими уравнениями, это на самом деле не так уж и сложно. Часто учителя алгебры используют графический подход к решению этих задач. Когда вы работаете с системой двух уравнений, решениями являются точки на графике, где пересекаются линии двух уравнений.

Например, мы работаем с системой, уравнения которой имеют вид y = 3x - 2 и y = -x - 6. Если мы проведем эти две линии на графике, мы получим одну линию, которая поднимается под крутым углом, и одну. который спускается под крутым углом. Поскольку эти прямые пересекаются в точке (-1, -5), то эта точка является решением данной системы.
Если мы хотим проверить нашу проблему, мы можем сделать это, подставив наш ответ в уравнение в системе - правильный ответ будет «правильным» для обоих уравнений.

у = 3х - 2

-5 = 3(-1) - 2

-5 = -3 - 2

-5 = -5

у = -x - 6

-5 = -(-1) - 6

-5 = 1 - 6

-5 = -5
Оба уравнения "проверены", поэтому наш ответ правильный!

подсказки

В Интернете есть много ресурсов для изучения алгебры. Например, выполните поиск по запросу «алгебраические формулы» в поисковой системе. Будет так много замечательных результатов. Вы также можете попробовать просмотреть подборку математических статей на wikiHow. Информации много, так что приступайте к изучению прямо сейчас!
Отличный сайт для начинающих по алгебре - khanacademy.com. Этот бесплатный сайт предлагает десятки простых уроков по широкому кругу тем, включая алгебру. Есть видео по всем этим темам, от очень простых до сложных тем университетского уровня. Так что не бойтесь изучать материалы Khan Academy и начните использовать всю помощь, которую может предложить сайт!
Не забывайте, что ваши лучшие ресурсы, когда вы пытаетесь изучать алгебру, включают людей, которых вы хорошо знаете. Спросите своих друзей или одноклассников о последнем уроке, который вы не поняли.