Две дроби эквивалентны, если имеют одинаковое значение. Умение преобразовывать дроби в их эквивалентные формы - чрезвычайно важный математический навык, необходимый для всех форм математики, от базовой алгебры до сложного исчисления. Эта статья предоставит несколько способов вычисления эквивалентных дробей от базового умножения и деления до более сложных способов решения эквивалентных дробных уравнений.
Шаг
Метод 1 из 5: Порядок эквивалентных дробей
Шаг 1. Умножьте числитель и знаменатель на одно и то же число
Две разные, но эквивалентные дроби по определению имеют числитель и знаменатель, кратные друг другу. Другими словами, умножение числителя и знаменателя дроби на одно и то же число даст эквивалентные дроби. Хотя числа в новой дроби будут другими, дроби будут иметь одинаковое значение.
- Например, если мы возьмем дробь 4/8 и умножим числитель и знаменатель на 2, мы получим (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. Эти две дроби эквивалентны.
- (4 × 2) / (8 × 2) на самом деле то же самое, что 4/8 × 2/2. Помните, что при умножении двух дробей мы умножаем прямо, имея в виду числитель на числитель и знаменатель на знаменатель.
- Обратите внимание, что 2/2 равно 1, если вы сделаете деление. Таким образом, легче понять, почему 4/8 и 8/16 эквивалентны, потому что умножение 4/8 × (2/2) = остается 4/8. Таким же образом, это то же самое, что сказать 4/8 = 8/16.
- Любая данная дробь имеет бесконечное количество эквивалентных дробей. Вы можете умножить числитель и знаменатель на любое целое число, независимо от размера или маленького, чтобы получить эквивалентную дробь.
Шаг 2. Разделите числитель и знаменатель на одно и то же число
Как и умножение, деление также можно использовать для поиска новой дроби, эквивалентной исходной дроби. Просто разделите числитель и знаменатель дроби на одно и то же число, чтобы получить эквивалентную дробь. У этого процесса есть один недостаток - последняя дробь должна иметь целые числа как в числителе, так и в знаменателе, чтобы быть истинной.
Например, давайте вернемся к 4/8. Если вместо умножения мы разделим числитель и знаменатель на 2, мы получим (4 2) / (8 2) = 2/4. 2 и 4 - целые числа, поэтому эти эквивалентные дроби верны
Метод 2 из 5: Использование базового умножения для определения равенства
Шаг 1. Найдите число, которое нужно умножить на меньший знаменатель, чтобы получить больший знаменатель
Многие задачи о дробях связаны с определением эквивалентности двух дробей. Вычислив это число, вы можете начать приравнивать дробные члены, чтобы определить равенство.
- Например, повторно используйте дроби 4/8 и 8/16. Меньший знаменатель равен 8, и мы должны умножить это число на 2, чтобы получить больший знаменатель, который равен 16. Таким образом, число в данном случае равно 2.
- Для более сложных чисел вы можете разделить больший знаменатель на меньший знаменатель. В этом случае 16 делится на 8, что все равно дает 2.
- Число не всегда целое. Например, если знаменатели 2 и 7, то число 3, 5.
Шаг 2. Умножьте числитель и знаменатель дроби с меньшим членом на число из первого шага
Две разные, но эквивалентные дроби по определению имеют числитель и знаменатель, кратные друг другу. Другими словами, умножение числителя и знаменателя дроби на одно и то же число даст эквивалентную дробь. Хотя числа в этой новой дроби будут другими, эти дроби будут иметь одинаковое значение.
Например, если мы используем дробь 4/8 из первого шага и умножим числитель и знаменатель на число, которое мы определили ранее, то есть 2, мы получим (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. Этот результат доказывает, что эти две дроби эквивалентны.
Метод 3 из 5: Использование основного деления для определения равенства
Шаг 1. Считайте каждую дробь как десятичное число
Для простых дробей без переменных вы можете представить каждую дробь как десятичное число, чтобы определить равенство. Поскольку каждая дробь на самом деле является проблемой деления, это самый простой способ определить равенство.
- Например, используйте дробь, которую мы использовали ранее, 4/8. Дробь 4/8 эквивалентна высказыванию 4, разделенному на 8, что составляет 4/8 = 0,5. Вы также можете решить другой пример, который равен 8/16 = 0,5. Независимо от членов дроби, дробь эквивалентна если оба числа одинаковы в десятичном представлении.
- Имейте в виду, что десятичные выражения могут иметь несколько цифр, прежде чем равенство станет очевидным. В качестве основного примера, 1/3 = 0,333 повторения, а 3/10 = 0,3. Используя более одной цифры, мы видим, что эти две дроби не эквивалентны.
Шаг 2. Разделите числитель и знаменатель дроби на одно и то же число, чтобы получить эквивалентную дробь
Для более сложных фракций метод деления требует дополнительных шагов. В то время как при умножении вы можете разделить числитель и знаменатель дроби на одно и то же число, чтобы получить эквивалентную дробь. У этого процесса есть один недостаток. Последняя дробь должна иметь целые числа в числителе и знаменателе, чтобы она была истинной.
Например, давайте вернемся к 4/8. Если вместо умножения мы разделим числитель и знаменатель на 2, получим (4 2) / (8 2) = 2/4. 2 и 4 - целые числа, поэтому эти эквивалентные дроби верны.
Шаг 3. Упростите дроби до самых простых выражений
Большинство дробей обычно записываются простейшими терминами, и вы можете преобразовать дроби в их простейшую форму, разделив их на наибольший общий множитель (GCF). Этот шаг выполняется в той же логике, что и запись эквивалентных дробей, преобразовывая их в один и тот же знаменатель, но этот метод пытается упростить каждую дробь до наименьших возможных членов.
- Когда дробь имеет простейшую форму, числитель и знаменатель имеют минимально возможные значения. Оба значения нельзя разделить на какое-либо целое число, чтобы получить меньшее значение. Чтобы преобразовать дробь, которая не находится в ее простейшей форме, в ее простейшую эквивалентную форму, мы делим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель.
-
Наибольший общий множитель числителя и знаменателя - это наибольшее число, которое делит их для получения целочисленного результата. Итак, в нашем примере 4/8, потому что
Шаг 4. - наибольшее число, которое делится на 4 и 8, мы разделим числитель и знаменатель нашей дроби на 4, чтобы получить простейшие члены. (4 4) / (8 4) = 1/2. Для нашего другого примера, 8/16, GCF равен 8, что также возвращает значение 1/2 как простейшее выражение дроби.
Метод 4 из 5. Использование перекрестных произведений для поиска переменных
Шаг 1. Расположите две дроби так, чтобы они были равны друг другу
Мы используем перекрестное умножение для математических задач, когда мы знаем, что дроби эквивалентны, но одно из чисел было заменено переменной (обычно x), которую мы должны решить. В подобных случаях мы знаем, что эти дроби эквивалентны, потому что они - единственные члены по ту сторону знака равенства, но часто способ найти переменную неочевиден. К счастью, с помощью перекрестного умножения эти типы задач легко решить.
Шаг 2. Возьмите две эквивалентные дроби и умножьте их на фигуру «X»
Другими словами, вы умножаете числитель одной дроби на знаменатель другой дроби и наоборот, затем расставляете два ответа так, чтобы они соответствовали друг другу, и решаете.
Возьмите наши два примера, 4/8 и 8/16. Ни у одного из них нет переменной, но мы можем доказать эту концепцию, потому что мы уже знаем, что они эквивалентны. Путем перекрестного умножения мы получаем 4/16 = 8 x 8 или 64 = 64, что верно. Если эти два числа не равны, то дроби не эквивалентны
Шаг 3. Добавьте переменные
Поскольку перекрестное умножение - это самый простой способ определить эквивалентные дроби, когда вам нужно найти переменные, давайте добавим переменные.
-
Например, давайте воспользуемся уравнением 2 / x = 10/13. Для перекрестного умножения мы умножаем 2 на 13 и 10 на x, а затем устанавливаем наши ответы равными друг другу:
- 2 × 13 = 26
- 10 × х = 10х
- 10x = 26. Отсюда найти ответ на нашу переменную - это простая алгебраическая задача. х = 26/10 = 2, 6, что делает исходную эквивалентную дробь 2/2, 6 = 10/13.
Шаг 4. Используйте перекрестное умножение для дробей с несколькими переменными или выражений переменных
Одним из лучших преимуществ перекрестного умножения является то, что на самом деле оно работает одинаково, независимо от того, работаете ли вы с двумя простыми дробями (как указано выше) или с более сложными дробями. Например, если обе дроби имеют переменные, вам нужно только исключить эти переменные в процессе решения. Точно так же, если числитель или знаменатель вашей дроби имеет переменное выражение (например, x + 1), просто «умножьте» его, используя свойство распределения, и решите как обычно.
-
Например, давайте воспользуемся уравнением ((x + 3) / 2) = ((x + 1) / 4). В этом случае, как и выше, мы решим это с помощью кросс-произведения:
- (х + 3) × 4 = 4x + 12
- (х + 1) × 2 = 2х + 2
- 2x + 2 = 4x + 12, тогда мы можем упростить дробь, вычитая 2x из обеих частей
- 2 = 2x + 12, затем мы изолируем переменную, вычитая 12 с обеих сторон
- -10 = 2x, и разделим на 2, чтобы найти x
- - 5 = х
Метод 5 из 5: использование квадратичных формул для поиска переменных
Шаг 1. Скрестите две дроби
Для задач равенства, требующих квадратной формулы, мы по-прежнему начинаем с использования перекрестного произведения. Однако любое перекрестное произведение, которое включает в себя умножение членов переменной на члены другой переменной, скорее всего, приведет к выражению, которое не может быть легко решено с помощью алгебры. В подобных случаях вам может потребоваться использование таких методов, как факторинг и / или квадратные формулы.
-
Например, давайте посмотрим на уравнение ((x +1) / 3) = (4 / (2x - 2)). Для начала давайте перемножим крестом:
- (х + 1) × (2x - 2) = 2x2 + 2x -2x - 2 = 2x2 - 2
- 4 × 3 = 12
- 2x2 - 2 = 12.
Шаг 2. Запишите уравнение в виде квадратного уравнения
В этом разделе мы хотим записать это уравнение в квадратичной форме (ax2 + bx + c = 0), что мы и делаем, устанавливая уравнение равным нулю. В этом случае мы вычитаем 12 с обеих сторон, чтобы получить 2x2 - 14 = 0.
Некоторые значения могут быть равны 0. Даже если 2x2 - 14 = 0 - это простейшая форма нашего уравнения, действительное квадратное уравнение равно 2x2 + 0x + (-14) = 0. С самого начала может быть полезно записать форму квадратного уравнения, даже если некоторые значения равны 0.
Шаг 3. Решите, подставив числа из квадратного уравнения в формулу корней квадратного уравнения
Квадратичная формула (x = (-b +/- (b2 - 4ac)) / 2a) поможет нам найти значение x в этом разделе. Не бойтесь длины формулы. Вы просто берете значения из квадратного уравнения на втором шаге и помещаете их в нужные места, прежде чем решать.
- х = (-b +/- (b2 - 4ац)) / 2а. В нашем уравнении 2x2 - 14 = 0, a = 2, b = 0 и c = -14.
- х = (-0 +/- (02 - 4(2)(-14)))/2(2)
- х = (+/- (0 - -112)) / 2 (2)
- х = (+/- (112)) / 2 (2)
- х = (+/- 10,58 / 4)
- х = +/- 2, 64
Шаг 4. Проверьте свой ответ, повторно введя значение x в квадратное уравнение
Подставив вычисленное значение x обратно в квадратное уравнение из шага 2, вы можете легко определить, правильно ли вы ответили. В этом примере вы подставите 2, 64 и -2, 64 в исходное квадратное уравнение.
подсказки
- Преобразование дроби в ее эквивалент на самом деле является формой умножения дроби на 1. При преобразовании 1/2 в 2/4 умножение числителя и знаменателя на 2 аналогично умножению 1/2 на 2/2, что равно 1..
-
При желании преобразуйте смешанное число в обычную дробь, чтобы упростить преобразование. Конечно, не все фракции, с которыми вы столкнетесь, будут такими же простыми, как преобразование нашего примера 4/8 выше. Например, смешанные числа (такие как 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3 и т. Д.) Могут немного усложнить процесс преобразования. Если вам нужно преобразовать смешанное число в обычную дробь, вы можете сделать это двумя способами: преобразовав смешанное число в обычную дробь, а затем преобразовав его как обычно, или сохраняя форму смешанных чисел и получая ответы в виде смешанных чисел.
- Чтобы преобразовать в обычную дробь, умножьте целую составляющую смешанного числа на знаменатель дробной составляющей, а затем прибавьте к числителю. Например, 1 2/3 = ((1 × 3) + 2) / 3 = 5/3. Затем при желании вы можете изменить его по мере необходимости. Например, 5/3 × 2/2 = 10/6, что остается равным 1 2/3.
- Однако нам не нужно преобразовывать его в обычную дробь, как указано выше. В противном случае мы оставляем целочисленный компонент в покое, меняем только дробный компонент и добавляем целочисленный компонент без изменений. Например, для 3 4/16 мы видим только 4/16. 4/16 4/4 = 1/4. Итак, добавив обратно наши целочисленные компоненты, мы получим новое смешанное число, 3 1/4.
Предупреждение
- Умножение и деление можно использовать для получения эквивалентных дробей, потому что умножение и деление с дробной формой числа 1 (2/2, 3/3 и т. Д.) Дает ответ, который по определению эквивалентен исходной дроби. Сложение и вычитание использовать нельзя.
-
Даже если вы умножаете числители и знаменатели при умножении дробей, вы не складываете и не вычитаете знаменатели при сложении или вычитании дробей.
Например, выше мы знаем, что 4/8 4/4 = 1/2. Если сложить 4/4, мы получим совершенно другой ответ. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 или 3/2, они не равны 4/8.
