Все прямоугольные треугольники имеют один прямой угол (90 градусов), а гипотенуза - это сторона, противоположная этому углу. Гипотенуза - это самая длинная сторона треугольника, и ее также очень легко найти несколькими способами. В этой статье вы узнаете, как найти длину гипотенузы с помощью теоремы Пифагора, если вы знаете длины двух других сторон треугольника. Далее из этой статьи вы узнаете, как определять гипотенузу некоторых специальных прямоугольных треугольников, которые часто встречаются на экзаменах. Наконец, в этой статье вы узнаете, как найти длину гипотенузы с помощью закона синуса, если вы знаете длину только одной стороны и измерение угла, отличного от прямого.
Шаг
Метод 1 из 3: использование теоремы Пифагора
Шаг 1. Изучите теорему Пифагора
Теорема Пифагора описывает отношения между сторонами прямоугольного треугольника. Эта теорема утверждает, что для любого прямоугольного треугольника со сторонами вдоль a и b и гипотенузой вдоль c, а2 + b2 = c2.
Шаг 2. Убедитесь, что ваш треугольник прямоугольный
Теорема Пифагора применима только к прямоугольным треугольникам, и по определению только прямоугольные треугольники имеют гипотенузу. Если у вашего треугольника один угол, равный точно 90 градусам, это прямоугольный треугольник, и вы можете двигаться дальше.
Прямые углы часто обозначаются в учебниках и на экзаменах маленьким квадратом в углу. Этот знак означает «90 градусов»
Шаг 3. Назначьте переменные a, b и c сторонам вашего треугольника
Переменная "c" всегда будет присвоена гипотенузе или самой длинной стороне. Выберите одну из сторон как «a» и назовите другую сторону «b» (неважно, какая сторона будет a или b; расчет останется прежним). Затем подставьте длины a и b в формулу, как показано в следующем примере:
Если у вашего треугольника стороны длиной 3 и 4, и вы назначили буквы сторонам так, что a = 3 и b = 4, вы должны написать свое уравнение как: 32 + 42 = c2.
Шаг 4. Найдите квадрат a и b
Чтобы найти квадрат числа, вы просто умножаете число само на себя, так что а2 = а х а. Найдите квадраты a и b и вставьте их в формулу.
- Если a = 3, a2 = 3 x 3 или 9. Если b = 4, b2 = 4 х 4 или 16.
- Когда вы вставляете эти значения в свое уравнение, оно должно выглядеть следующим образом: 9 + 16 = с2.
Шаг 5. Сложите значения2 а также б2.
Подставьте сумму в уравнение, и вы получите значение c2. Остался всего один шаг, и вы решите гипотенузу!
В нашем примере 9 + 16 = 25, чтобы вы написали 25 = с2.
Шаг 6. Найдите квадратный корень из c2.
Используйте функцию квадратного корня на вашем калькуляторе (или в памяти, или в таблице умножения), чтобы найти квадратный корень из c2. Ответ - длина вашей гипотенузы!
В нашем примере c2 = 25. Квадратный корень из 25 равен 5 (5 х 5 = 25, так Корень (25) = 5). Это означает, с = 5, длина нашей гипотенузы!
Метод 2 из 3: Нахождение гипотенузы специального прямоугольного треугольника
Шаг 1. Научитесь распознавать треугольники с тройкой Пифагора
Длины сторон тройки Пифагора являются целыми числами согласно теореме Пифагора. Эти специальные треугольники часто встречаются в учебниках по геометрии и на стандартных экзаменах, таких как ООН. Если вы особенно помните первые 2 пифагоровых троек, вы можете сэкономить много времени на этих тестах, потому что вы быстро узнаете гипотенузу одного из этих треугольников, просто взглянув на длины сторон!
- Первая пифагорейская тройка была 3-4-5 (32 + 42 = 52, 9 + 16 = 25). Когда вы видите прямоугольный треугольник с катетами длиной 3 и 4, вы сразу же поверите, что его гипотенуза равна 5, без каких-либо вычислений.
-
Тройное соотношение Пифагора сохраняется, даже если стороны умножаются на другое число. Например, прямоугольный треугольник с длиной ног
Шаг 6. да
Шаг 8. будет гипотенуза
Шаг 10. (62 + 82 = 102, 36 + 64 = 100). То же самое касается 9-12-15, и даже 1, 5-2-2, 5. Попробуйте произвести расчеты и убедитесь в этом сами!
- Вторая тройка Пифагора, которая часто встречается на экзаменах, - это 5-12-13 (52 + 122 = 132, 25 + 144 = 169). Также обратите внимание на такие кратные, как 10-24-26 а также 2, 5-6-6, 5.
Шаг 2. Запомните соотношение сторон прямоугольного треугольника 45-45-90
Прямоугольный треугольник 45-45-90 имеет углы 45, 45 и 90 градусов и также называется равнобедренным прямоугольным треугольником. Этот треугольник часто встречается на стандартных экзаменах, и его очень легко решить. Отношение сторон этого треугольника равно 1: 1: корень (2), что означает, что длины катетов одинаковы, а длина гипотенузы - это просто длина катетов, умноженная на квадратный корень из двух.
- Чтобы вычислить гипотенузу этого треугольника на основе длины одного из его катетов, просто умножьте длину катета на Sqrt (2).
- Знание этих сравнений полезно, особенно когда в ваших экзаменационных или домашних заданиях длины сторон указываются в виде переменных, а не целых чисел.
Шаг 3. Изучите соотношение сторон прямоугольного треугольника 30-60-90
Углы этих треугольников составляют 30, 60 и 90 градусов, и они появляются, когда вы разрезаете равносторонний треугольник пополам. Стороны прямоугольного треугольника 30-60-90 всегда имеют соотношение 1: Корень (3): 2, или x: Корень (3) x: 2x. Если бы вам дали длину одного катета прямоугольного треугольника 30-60-90 и попросили найти гипотенузу, эту задачу было бы очень легко решить:
-
Если вам дана длина самого короткого отрезка (противоположного под углом 30 градусов), просто умножьте длину отрезка на 2, чтобы найти длину гипотенузы. Например, если длина самой короткой ноги равна
Шаг 4., вы знаете, что длина гипотенузы должна быть
Шаг 8..
-
Если вам дана длина более длинной ноги (напротив угла 60 градусов), умножьте эту длину на 2 / корень (3) найти длину гипотенузы. Например, если длина более длинной ноги равна
Шаг 4., вы знаете, что длина определенной гипотенузы равна 4, 62.
Метод 3 из 3: Нахождение гипотенузы по закону синуса
Шаг 1. Разберитесь в значении слова «синус»
Термины «синус», «косинус» и «касательная» относятся к различным отношениям между углами и / или сторонами прямоугольного треугольника. В прямоугольном треугольнике синус угол определяется как длина стороны, противоположной углу деленное на гипотенуза треугольника. Сокращение синуса в уравнениях и калькуляторах: грех.
Шаг 2. Научитесь вычислять синус
Даже базовые научные калькуляторы имеют функцию синуса. Найдите кнопку с надписью грех. Чтобы найти синус угла, обычно нажимают клавишу грех а затем введите значение угла в градусах. Однако в некоторых калькуляторах необходимо сначала ввести значение угла, а затем нажать кнопку грех. Вам придется поэкспериментировать со своим калькулятором или проверить руководство, чтобы выяснить, какой метод использовать.
- Чтобы найти синус угла 80 градусов, вы должны ввести грех 80 с последующим знаком равенства или Enter, или 80 грех. (Ответ -0, 9939.)
- Вы также можете ввести «калькулятор синуса» в поисковую строку и поискать несколько простых в использовании калькуляторов, которые избавят вас от любых догадок.
Шаг 3. Изучите закон синуса
Закон синусов - полезный инструмент для решения треугольников. В частности, этот закон может помочь вам найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если вам известна длина одной стороны и измерение одного угла, отличного от этого прямого. Для любого треугольника со сторонами а, б, а также c, и углы А, B, а также C, закон синуса гласит, что а / грех А = б / грех Б = c / sin C.
Закон синусов можно использовать для решения любого треугольника, но только прямоугольные треугольники имеют гипотенузу
Шаг 4. Назначьте переменные a, b и c сторонам вашего треугольника
Гипотенуза (самая длинная сторона) должна быть "c". Для удобства пометьте «a» для стороны известной длины и «b» для другой стороны. Прямой угол напротив гипотенузы - «С». Угол, противоположный стороне «a», составляет угол «A», а угол, противоположный стороне «b», равен «B».
Шаг 5. Рассчитайте размер третьего угла
Поскольку это прямой угол, мы уже знаем, что C = 90 градусов, и вы также знаете размеры А или B. Поскольку измерение внутреннего градуса треугольника всегда равно 180 градусам, вы можете легко вычислить измерение углов всех трех, используя формулу: 180 - (90 + А) = В. Вы также можете перевернуть уравнение на 180 - (90 + В) = А.
Например, если вы знаете, что A = 40 градусов, В = 180 - (90 + 40). Упростите это до В = 180 - 130, и вы можете быстро определить, что B = 50 градусов.
Шаг 6. Проверьте свой треугольник
На этом этапе вы уже знаете размеры трех углов и длину стороны a. Теперь пришло время вставить эту информацию в уравнения закона синуса, чтобы определить длины двух других сторон.
Чтобы продолжить наш пример, предположим, что длина стороны a = 10. Угол C = 90 градусов, угол A = 40 градусов и угол B = 50 градусов
Шаг 7. Примените к треугольнику закон синуса
Нам просто нужно подставить наши числа и решить следующее уравнение, чтобы найти длину гипотенузы c: длина стороны a / sin A = длина стороны c / sin C. Это уравнение может показаться немного пугающим, но синус 90 градусов всегда один и тот же и всегда равен 1! Таким образом, наше уравнение можно упростить до: а / грех А = с / 1, или просто а / грех А = с.
Шаг 8. Разделите длину стороны a. с синусом угла А найти длину гипотенузы!
Вы можете найти его в два отдельных шага, сначала вычислив sin A и записав результат, а затем разделив на a. Или вы можете ввести все в калькулятор одновременно. Если вы используете калькулятор, не забудьте поставить скобки после знака деления. Например, введите 10 / (грех 40) или 10 / (40 грехов), в зависимости от вашего калькулятора.
