Двоичное деление может быть решено с помощью метода деления в столбик, который может научить вас самому процессу деления, а также создавать простые компьютерные программы. Кроме того, дополнительные методы итеративного вычитания могут предоставить подходы, с которыми вы, возможно, не знакомы, даже если они обычно не используются для программирования. Машинные языки обычно используют алгоритмы аппроксимации, чтобы быть более эффективными, но это не описывается в этой статье.
Шаг
Метод 1 из 2: Использование длинного деления
Шаг 1. Заново выучите десятичное деление в столбик
Если вы долгое время не использовали долгое деление в обычной десятичной (десятичной) системе счисления, вернитесь к основам, используя пример задачи 172, разделенной на 4. В противном случае пропустите этот шаг и сразу перейдите к следующему шагу, чтобы изучить аналогичный процесс с двоичными числами.
- Числитель деленное на знаменатель, и результат частное.
- Сравните знаменатель с первым числом в числителе. Если знаменатель больше, продолжайте прибавлять числа к числителю, пока знаменатель не станет меньше. (Например, если мы вычисляем 172 деленное на 4, сравниваем 4 с 1, мы знаем, что 4 больше 1, поэтому приступим к сравнению 4 с 17.)
- Напишите первую цифру частного над последним числителем, использованным при сравнении. Когда мы сравниваем 4 с 17, мы видим, что 4 покрывается числом 17 четыре раза, поэтому мы пишем 4 как первое число частного, над 7.
- Умножьте и вычтите, чтобы получить остаток. Умножьте частное на знаменатель, что означает 4 × 4 = 16. Запишите 16 под 17, затем вычтите 17 на 16, чтобы получить остаток, равный 1.
- Повторите процесс. Мы снова сравниваем знаменатель, равный 4, со следующим числом, равным 1, обратите внимание, что 4 больше 1, затем «вычитаем» следующее число из числителя, мы продолжаем, сравнивая 4 с 12. Мы видим, что 4 покрывается 12 трижды без остатка, поэтому мы пишем 3 как следующее число частного. Ответ - 43.
Шаг 2. Подготовьте двоичную задачу с длинным делением
Возьмем 10101 11. Запишите как задачу для деления в столбик, используя 10101 в качестве числителя и 11 в качестве знаменателя. Оставьте пространство над ним как место для записи частного, а под ним как место для записи вычислений.
Шаг 3. Сравните знаменатель с первой цифрой числителя
Он работает так же, как и длинное деление в десятичной системе счисления, но на самом деле это намного проще в двоичной системе счисления. В двоичном формате есть только два варианта: либо вы не можете разделить число на знаменатель (что означает 0), либо знаменатель включается только один раз (что означает 1):
11> 1, поэтому 11 не "покрывается" 1. Запишите число 0 как первое число частного (над первой цифрой числителя)
Шаг 4. Работайте со следующим числом и повторяйте, пока не получите число 1
Следующие шаги в нашем примере:
- Выведите следующее число из числителя. 11> 10. Напишите 0 в частном.
- Уменьшите следующее число. 11 <101. Запишите цифру 1 в частном.
Шаг 5. Найдите остаток от деления
Как и в случае с десятичными дробными числами, умножьте только что полученное число (1) на знаменатель (11), затем запишите результат под числителем параллельно с числом, которое мы только что вычислили. В двоичной системе счисления мы можем резюмировать этот процесс, потому что знаменатель 1 x всегда совпадает с знаменателем:
- Напишите знаменатель под числителем. Здесь напишите 11 параллельно первым трем цифрам числителя (101).
- Посчитайте 101-11, чтобы получить остаток от деления, который равен 10. Посмотрите, как вычитать двоичные числа, если вам нужно переучиться.
Шаг 6. Повторяйте, пока проблема не будет решена
Уменьшите следующее число в знаменателе до остатка от деления, чтобы получить 100. Поскольку 11 <100, запишите 1 в качестве следующего числа в делении. Продолжайте расчет, как и раньше:
- Напишите 11 меньше 100, а затем вычтите, чтобы получить 1.
- Уменьшите последнюю цифру числителя до 11.
- 11 = 11, поэтому запишите 1 как последнюю цифру частного (ответа).
- Поскольку остатка нет, расчет завершен. Ответ 00111, или только 111.
Шаг 7. При необходимости добавьте точки счисления
Иногда результат вычисления не является целым числом. Если у вас все еще осталось деление после использования последней цифры, добавьте «.0» к числителю и «.» к частному, так что вы все равно можете получить еще одно число и продолжить вычисление. Повторяйте, пока не достигнете желаемой точности, а затем округлите результат. На бумаге вы можете округлить, удалив последний 0, или, если последний равен 1, отбросить его и добавить самое последнее последнее число к 1. В программировании следуйте одному из нескольких стандартных алгоритмов округления, чтобы избежать ошибок при преобразовании двоичных чисел. в десятичную и наоборот.
- Двоичное деление часто приводит к повторяющимся дробным частям чаще, чем один и тот же процесс в десятичной системе.
- Это чаще называют «точкой счисления», которая применяется к любому основанию, потому что термин «десятичная точка» применяется только в десятичной системе счисления.
Метод 2 из 2: Использование дополнительного метода
Шаг 1. Разберитесь в основной концепции
Один из способов решения проблемы деления - на любом основании - состоит в том, чтобы продолжать вычитать знаменатель из числителя, а затем остаток, подсчитывая, сколько раз этот процесс может быть повторен, прежде чем будет получено отрицательное число. В следующем примере показано вычисление по основанию 10, равное 26 7:
- 26-7 = 19 (вычесть 1 раз)
- 19 - 7 = 12 (2)
- 12 - 7 = 5 (3)
- 5-7 = -2. Отрицательные числа, поэтому сделайте шаг назад. В результате получается 3, а остаток делится на 5. Обратите внимание, что этот метод не вычисляет дробную часть ответа.
Шаг 2. Научитесь вычитать с дополнениями
Хотя вы можете легко использовать вышеуказанный метод в двоичной системе, мы также можем сократить использование более эффективного метода, который экономит время при программировании компьютера на двоичное деление. Это вычитание с методом дополнения в двоичном формате. Вот основы вычисления 111 - 011 (убедитесь, что два числа имеют одинаковую длину):
- Найдите дополнение до единицы для второго числа, вычтя каждую цифру из 1. Этот шаг легко сделать в двоичной системе, изменив каждую 1 на 0 и каждый 0 на 1. В этом примере 011 на 100.
- Добавьте 1 к результату вычисления: 100 + 1 = 101. Это число называется дополнением до двух, поэтому вычитание может быть решено как сложение. По сути, результат этого вычисления такой, как будто мы добавляем отрицательные числа, а не вычитаем положительные числа после завершения этого процесса.
- Добавьте результат к первому числу. Напишите и решите задачу на сложение: 111 + 101 = 1100.
- Удалите больше номеров. Удалите первое число из результата расчета, чтобы получить окончательный результат. 1100 → 100.
Шаг 3. Объедините две концепции, описанные выше
Теперь вы знаете метод вычитания для решения задач деления, а также метод дополнения до двух для решения задач на вычитание. Следуя приведенным ниже инструкциям, вы можете объединить два метода в один, чтобы решить проблему разделения. Если хотите, попробуйте решить эту проблему самостоятельно, прежде чем продолжить.
Шаг 4. Вычтите знаменатель из числителя, добавив два дополнения
Давайте поработаем над задачей 100011 000101. Первый шаг - решить 100011 - 000101, используя метод дополнения до двух, чтобы превратить это вычисление в сумму:
- Дополнение до двух 000101 = 111010 + 1 = 111011
- 100011 + 111011 = 1011110
- Убрать лишние числа → 011110
Шаг 5. К результату деления прибавьте 1
В компьютерной программе здесь к частному добавляется 1. На бумаге делайте пометки в углах, чтобы они не путались с другой работой. Нам удалось вычесть один раз, поэтому результат деления пока равен 1.
Шаг 6. Повторите процесс, вычтя знаменатель из остатка вычисления
Результатом нашего последнего расчета является остаток от деления после того, как знаменатель «покрывается» один раз. Продолжайте добавлять два дополнения знаменателя при каждом повторении и удаляя лишние цифры. Добавьте 1 к частному на каждой итерации, повторяя, пока вы не получите остаток вычислений, равный знаменателю или меньший его:
- 011110 + 111011 = 1011001 → 011001 (частное 1 + 1 = 10)
- 0110001 + 111011 = 1010100 → 010100 (частное 10 + 1 = 11)
- 010100 + 111011 = 1001111 → 001111 (11+1=100)
- 001111 + 111011 = 1001010 → 001010 (100+1=101)
- 001010 + 111011 = 10000101 → 0000101 (101+1=110)
- 0000101 + 111011 = 1000000 → 000000 (110+1=111)
- 0 меньше 101, поэтому мы останавливаемся на этом. Ответ на этот процесс разделения: 111. В то время как остаток от деления является окончательным результатом процесса вычитания, в данном случае 0 (без остатка).
подсказки
- Перед применением двоичной математики в наборе машинных инструкций следует учитывать инструкции по увеличению (добавление 1), опусканию (вычитание 1) или удалению из стека (всплывающее стек).
- Метод дополнения до двух для вычитания не будет работать, если числа имеют разное количество цифр. Чтобы исправить это, добавьте ноль в начало числа для меньшего числа.
- Перед вычислением игнорируйте отрицательные числа в отрицательных двоичных числах, за исключением определения положительного или отрицательного ответа.
