Корневая форма - это алгебраическое утверждение, имеющее знак квадратного корня (или кубического корня или выше). Эта форма часто может представлять два числа с одинаковым значением, хотя на первый взгляд они могут выглядеть разными (например, 1 / (sqrt (2) - 1) = sqrt (2) +1). Следовательно, нам нужна «стандартная формула» для такой формы. Если в стандартной формуле есть два утверждения, которые кажутся разными, это не одно и то же. Математики соглашаются, что стандартная формулировка квадратичной формы удовлетворяет следующим требованиям:
- Избегайте использования дробей
- Не используйте дробные степени
- Избегайте использования корневой формы в знаменателе
- Не содержит умножения двух корневых форм
- Числа под корнем больше не могут быть рутированы
Одно из практических применений этого - на экзаменах с несколькими вариантами ответов. Когда вы найдете ответ, но ваш ответ не совпадает с доступными вариантами, попробуйте упростить его до стандартной формулы. Поскольку составители вопросов обычно пишут ответы по стандартным формулам, сделайте то же самое со своими ответами, чтобы они соответствовали их. В вопросах для сочинения такие команды, как «упростить ответ» или «упростить все корни», означают, что учащиеся должны выполнять следующие шаги, пока они не встретят стандартную формулу, указанную выше. Этот шаг также можно использовать для решения уравнений, хотя некоторые типы уравнений легче решать в нестандартных формулах.
Шаг
Шаг 1. При необходимости просмотрите правила работы с корнями и показателями (оба равны - корни являются степенями дробей), поскольку они нам нужны в этом процессе
Также просмотрите правила упрощения многочленов и рациональных форм, поскольку нам нужно будет их упростить.
Метод 1 из 6: идеальные квадраты
Шаг 1. Упростите все корни, содержащие полные квадраты
Полный квадрат - это произведение самого числа, например 81, которое является произведением 9 x 9. Чтобы упростить идеальный квадрат, просто удалите квадратный корень и запишите квадратный корень из числа.
- Например, 121 - это полный квадрат, потому что 11 x 11 равно 121. Итак, вы можете упростить корень (121) до 11, удалив знак корня.
- Чтобы упростить этот шаг, вам нужно запомнить первые двенадцать полных квадратов: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
Шаг 2. Упростите все корни, содержащие идеальные кубики
Идеальный куб - это произведение двойного умножения числа на само себя, например 27, которое является произведением 3 x 3 x 3. Чтобы упростить форму корня идеального куба, просто удалите квадратный корень и запишите квадратный корень. числа.
Например, 343 - идеальный куб, потому что это произведение 7 x 7 x 7. Таким образом, кубический корень 343 равен 7
Метод 2 из 6: преобразование дробей в корни
Или изменить наоборот (иногда это помогает), но не смешивайте их в одном выражении с root (5) + 5 ^ (3/2). Мы предполагаем, что вы хотите использовать корневую форму, и мы будем использовать символы root (n) для квадратного корня и sqrt ^ 3 (n) для кубического корня.
Шаг 1. Возьмите единицу в степень дроби и преобразуйте ее в форму корня, например x ^ (a / b) = корень в степени b x ^ a
Если квадратный корень имеет дробную форму, преобразуйте его в обычную форму. Например, квадратный корень (2/3) из 4 = корень (4) ^ 3 = 2 ^ 3 = 8
Шаг 2. Преобразуйте отрицательные показатели в дроби, например x ^ -y = 1 / x ^ y.
Эта формула применима только к постоянным и рациональным показателям. Если вы имеете дело с такой формой, как 2 ^ x, не меняйте ее, даже если проблема указывает, что x может быть дробью или отрицательным числом
Шаг 3. Объединить одно племя и упростим получившуюся рациональную форму.
Метод 3 из 6: исключение дробей в корнях
Стандартная формула требует, чтобы корень был целым числом.
Шаг 1. Посмотрите на число под квадратным корнем, если оно все еще содержит дробь
Если все еще…
Шаг 2. Измените форму на дробь, состоящую из двух корней, используя тождественный корень (a / b) = sqrt (a) / sqrt (b)
Не используйте эту идентичность, если знаменатель отрицательный или если это переменная, которая может быть отрицательной. В этом случае сначала упростите дробь
Шаг 3. Упростите каждый идеальный квадрат результата
То есть преобразовать sqrt (5/4) в sqrt (5) / sqrt (4), а затем упростить до sqrt (5) / 2.
Шаг 4. Используйте другие методы упрощения, такие как упрощение сложных дробей, объединение равных членов и т. Д
Метод 4 из 6: объединение корней умножения
Шаг 1. Если вы умножаете одну корневую форму на другую, объедините два в один квадратный корень, используя формулу:
sqrt (а) * sqrt (b) = sqrt (ab). Например, замените root (2) * root (6) на root (12).
- Приведенный выше идентификатор sqrt (a) * sqrt (b) = sqrt (ab) действителен, если число под знаком sqrt не отрицательное. Не используйте эту формулу, когда a и b отрицательны, потому что вы сделаете ошибку, сделав sqrt (-1) * sqrt (-1) = sqrt (1). Выражение слева равно -1 (или undefined, если вы не используете комплексные числа), а утверждение справа - +1. Если a и / или b отрицательны, сначала «измените» знак, например sqrt (-5) = i * sqrt (5). Если форма под корневым знаком представляет собой переменную, знак которой неизвестен из контекста или может быть положительным или отрицательным, оставьте его пока как есть. Вы можете использовать более общий идентификатор sqrt (a) * sqrt (b) = sqrt (sgn (a)) * sqrt (sgn (b)) * sqrt (| ab |), который применяется ко всем действительным числам a и b, но обычно эта формула мало помогает, поскольку усложняет использование функции sgn (signum).
- Эта идентичность действительна только в том случае, если формы корней имеют одинаковый показатель степени. Вы можете умножать разные квадратные корни, такие как sqrt (5) * sqrt ^ 3 (7), преобразовывая их в один и тот же квадратный корень. Для этого временно преобразуйте квадратный корень в дробь: sqrt (5) * sqrt ^ 3 (7) = 5 ^ (1/2) * 7 ^ (1/3) = 5 ^ (3/6) * 7 ^ (2/6) = 125 ^ (1/6) * 49 ^ (1/6). Затем используйте правило умножения, чтобы умножить два на квадратный корень из 6125.
Метод 5 из 6. Удаление квадратного множителя из корня
Шаг 1. Фактор несовершенных корней на простые множители
Фактор - это число, которое при умножении на другое число образует число - например, 5 и 4 являются двумя множителями 20. Чтобы разбить несовершенные корни, запишите все множители числа (или как можно больше, если число слишком велико), пока вы не найдете идеальный квадрат.
Например, попробуйте найти все множители 45: 1, 3, 5, 9, 15 и 45. 9 - это множитель 45, а также полный квадрат (9 = 3 ^ 2). 9 х 5 = 45
Шаг 2. Удалите из квадратного корня все множители, которые являются точными квадратами
9 - это идеальный квадрат, потому что это произведение 3 x 3. Возьмите 9 из квадратного корня и замените его на 3 перед квадратным корнем, оставив 5 внутри квадратного корня. Если вы «поместите» 3 обратно в квадратный корень, умножьте само на себя, чтобы получить 9, а если вы умножите на 5, то вернется 45. 3 корня из 5 - это простой способ выразить корень из 45.
То есть sqrt (45) = sqrt (9 * 5) = sqrt (9) * sqrt (5) = 3 * sqrt (5)
Шаг 3. Найдите идеальный квадрат в переменной
Квадратный корень из квадрата равен | a |. Вы можете упростить это до просто «а», если известная переменная положительна. Квадратный корень из a в степени 3 при разбиении на квадратный корень из квадрата, умноженного на a - помните, что показатели степени складываются, когда мы умножаем два числа в степень a, поэтому квадрат, умноженный на a, равен третья сила.
Следовательно, идеальный квадрат в форме куба есть квадрат
Шаг 4. Удалите из квадратного корня переменную, содержащую полный квадрат
Теперь возьмите квадрат квадратного корня и измените его на | a |. Простая форма корня a в степени 3: | a | корень а.
Шаг 5. Объедините равные члены и упростите все корни результатов расчета
Метод 6 из 6: рационализировать знаменатель
Шаг 1. Стандартная формула требует, чтобы знаменатель был целым числом (или многочленом, если он содержит переменную), насколько это возможно
-
Если знаменатель состоит из одного члена под знаком корня, например […] / root (5), то умножьте числитель и знаменатель на этот корень, чтобы получить […] * sqrt (5) / sqrt (5) * sqrt (5) = […] * корень (5) / 5.
Для кубических корней или выше умножьте на соответствующий корень, чтобы знаменатель был рациональным. Если знаменатель - корень ^ 3 (5), умножьте числитель и знаменатель на sqrt ^ 3 (5) ^ 2
-
Если знаменатель состоит из сложения или вычитания двух квадратных корней, таких как sqrt (2) + sqrt (6), умножьте квантор и знаменатель на их сопряжение, которое имеет ту же форму, но с противоположным знаком. Тогда […] / (корень (2) + корень (6)) = […] (корень (2) -корень (6)) / (корень (2) + корень (6)) (корень (2) -корень (6)). Затем используйте формулу тождества для разности двух квадратов [(a + b) (ab) = a ^ 2-b ^ 2], чтобы рационализировать знаменатель, чтобы упростить (sqrt (2) + sqrt (6)) (sqrt (2) -sqrt (6)) = sqrt (2) ^ 2 - sqrt (6) ^ 2 = 2-6 = -4.
- Это также относится к знаменателям вроде 5 + sqrt (3), потому что все целые числа являются корнями других целых чисел. [1 / (5 + sqrt (3)) = (5-sqrt (3)) / (5 + sqrt (3)) (5-sqrt (3)) = (5-sqrt (3)) / (5 ^ 2-sqrt (3) ^ 2) = (5-sqrt (3)) / (25-3) = (5-sqrt (3)) / 22]
- Этот метод также применяется к добавлению корней, например sqrt (5) -sqrt (6) + sqrt (7). Если вы сгруппируете их в (sqrt (5) -sqrt (6)) + sqrt (7) и умножите на (sqrt (5) -sqrt (6)) - sqrt (7), ответ будет не в рациональной форме, а все еще в корне a + b * (30), где a и b уже являются рациональными числами. Затем повторите процесс с конъюгатами a + b * sqrt (30) и (a + b * sqrt (30)) (a-b * sqrt (30)) будет рациональным. По сути, если вы можете использовать этот трюк для удаления одного корневого знака в знаменателе, вы можете повторить его много раз, чтобы удалить все корни.
- Этот метод также можно использовать для знаменателей, которые содержат более высокий корень, например корень четвертой степени из 3 или корень седьмой степени из 9. Умножьте числитель и знаменатель на сопряжение знаменателя. К сожалению, мы не можем напрямую получить сопряжение знаменателя, да и сделать это сложно. Мы можем найти ответ в книге по алгебре по теории чисел, но я не буду вдаваться в подробности.
Шаг 2. Теперь знаменатель в рациональной форме, но числитель выглядит беспорядочно
Теперь все, что вам нужно сделать, это умножить полученное значение на знаменатель. Продолжайте и умножайте, как мы умножаем многочлены. Проверьте, можно ли опустить, упростить или объединить какие-либо термины, если это возможно.
Шаг 3. Если знаменатель является отрицательным целым числом, умножьте числитель и знаменатель на -1, чтобы получить положительное значение
подсказки
- Вы можете искать в Интернете сайты, которые помогут упростить корневые формы. Просто введите уравнение со знаком корня, и после нажатия Enter появится ответ.
- Для более простых вопросов вы можете не использовать все шаги, описанные в этой статье. Для более сложных вопросов вам может потребоваться выполнить несколько шагов более одного раза. Используйте «простые» шаги несколько раз и проверьте, соответствует ли ваш ответ стандартным критериям формулировки, которые мы обсуждали ранее. Если ваш ответ в стандартной формуле, все готово; но если нет, вы можете проверить один из приведенных выше шагов, чтобы сделать это.
- Большинство ссылок на «рекомендованную стандартную формулу» для формы корней также относятся к комплексным числам (i = root (-1)). Даже если оператор содержит «i» вместо корня, избегайте знаменателей, которые все еще содержат i, насколько это возможно.
- Некоторые инструкции в этой статье предполагают, что все корни квадратные. Те же общие принципы применимы к корням высших сил, хотя с некоторыми частями (особенно с рационализацией знаменателя) может быть довольно сложно работать. Решите для себя, какую форму вы хотите, например sqr ^ 3 (4) или sqr ^ 3 (2) ^ 2. (Не помню, какая форма обычно предлагается в учебниках).
- Некоторые инструкции в этой статье используют слово «стандартная формула» для описания «регулярной формы». Разница в том, что стандартная формула принимает только форму 1 + sqrt (2) или sqrt (2) +1 и считает другие формы нестандартными; Простая форма предполагает, что вы, читатель, достаточно умен, чтобы увидеть «сходство» этих двух чисел, даже если они не идентичны в письменной форме («одинаковый» означает их арифметическое свойство (коммутативное сложение), а не их алгебраическое свойство (корень (2) является неотрицательным корнем x ^ 2-2)). Мы надеемся, что читатели поймут небольшую небрежность в использовании этой терминологии.
- Если какие-либо подсказки кажутся неоднозначными или противоречивыми, выполните все шаги, которые однозначны и последовательны, а затем выберите ту форму, которая вам больше нравится.
