3 способа упростить алгебраические выражения

2024 Автор: Jason Gerald | [email protected]. Последнее изменение: 2024-01-15 08:22

Умение упрощать алгебраические выражения - один из ключей к овладению основами алгебры и самый полезный инструмент, который должен иметь любой математик. Упрощение позволяет математикам преобразовывать сложные, длинные и / или нечетные выражения в более простые или более простые эквивалентные выражения. Базовым навыкам упрощения очень легко научиться - даже тем, кто ненавидит математику. Выполнив несколько простых шагов, можно упростить многие из наиболее часто используемых типов алгебраических выражений, не прибегая к каким-либо специальным математическим знаниям. Ознакомьтесь с Шагом 1, чтобы начать!

Шаг

Понимание важных концепций

Шаг 1. Сгруппируйте похожие термины в соответствии с их переменными и полномочиями

В алгебре одинаковые термины имеют одинаковую конфигурацию переменных с одинаковой мощностью. Другими словами, для того, чтобы два члена были равны, они должны иметь одну и ту же переменную или вообще не иметь переменной, и каждая переменная имеет одинаковую степень или не иметь показателя степени. Порядок переменных в терминах не важен.

Например, 3x² и 4x² похожи на термины, потому что у них обоих есть переменная x со степенью квадрата. Однако x и x² не похожи на термины, потому что каждый член имеет переменную x с разной степенью. Почти то же самое, -3yx и 5xz не похожи на термины, потому что каждый термин имеет свою переменную.

Шаг 2. Разложите на множители, записав число как произведение двух множителей

Факторинг - это концепция записи данного числа как произведения двух умножаемых факторов. Числа могут иметь более одного набора факторов - например, 12 можно получить из 1 × 12, 2 × 6 и 3 × 4, поэтому мы можем сказать, что 1, 2, 3, 4, 6 и 12 являются факторами. of 12 Другой способ вообразить, что множители числа - это числа, которые делят число целиком.

• Например, если мы хотим разложить на множитель 20, мы могли бы записать его как 4 × 5.
• Обратите внимание, что переменные члены также могут быть учтены. -20x, например, можно записать как 4 (5x).
• Простые числа нельзя разложить на множители, потому что их можно разделить только на себя и 1.

Шаг 3. Используйте аббревиатуру KaPaK BoTaK, чтобы запомнить порядок операций

Иногда упрощение выражения просто решает операцию в уравнении до тех пор, пока оно не перестанет работать. В этих случаях очень важно помнить порядок операций, чтобы не возникало арифметических ошибок. Аббревиатура KaPaK BoTaK поможет вам запомнить порядок операций - буквы обозначают типы операций, которые вы должны выполнить, в следующем порядке:

• K неудача
• п поднимать
• K Али
• B опять таки
• Т Добавить
• K креветка

Метод 1 из 3: объединить одинаковые термины

Шаг 1. Запишите уравнение

Простейшие алгебраические уравнения, включающие всего несколько переменных членов с целыми коэффициентами и без дробей, корней и т. Д., Часто можно решить всего за несколько шагов. Для большинства математических задач первым шагом к упрощению уравнения является его запись!

В качестве примера проблемы для следующих нескольких шагов мы используем выражение 1 + 2x - 3 + 4x.

Шаг 2. Определите похожие племена

Затем поищите в своем уравнении похожие члены. Помните, что одинаковые термины имеют одинаковую переменную и показатель степени.

Например, давайте определим одинаковые члены в нашем уравнении 1 + 2x - 3 + 4x. 2x и 4x имеют одну и ту же переменную с одинаковой степенью (в этом случае x не имеет показателя степени). Кроме того, 1 и -3 похожи на термины, потому что у них нет переменных. Итак, в нашем уравнении 2x и 4x а также 1 и -3 похожи племена.

Шаг 3. Объедините похожие термины

Теперь, когда вы определили похожие термины, вы можете объединить их, чтобы упростить уравнение. Добавьте члены (или вычтите в случае отрицательных членов), чтобы уменьшить набор терминов с одинаковой переменной и показателем до одного равного члена.

• Давайте добавим похожие термины в наш пример.

  • 2x + 4x = 6x
  • 1 + -3 = - 2

Шаг 4. Составьте более простое уравнение из упрощенных терминов

Объединив похожие термины, составьте уравнение из нового, меньшего набора терминов. Вы получите более простое уравнение, в котором есть один член для различных наборов переменных и степеней в исходном уравнении. Это новое уравнение эквивалентно исходному уравнению.

В нашем примере наши упрощенные члены - это 6x и -2, поэтому наше новое уравнение 6x - 2. Это простое уравнение эквивалентно исходному (1 + 2x - 3 + 4x), но короче и с ним легче работать. Также легче учитывать фактор, который мы рассмотрим ниже, что является еще одним важным упрощающим навыком.

Шаг 5. Соблюдайте порядок действий при объединении одинаковых терминов

В очень простых уравнениях, подобных тому, над которым мы работали в приведенном выше примере задачи, легко определить похожие термины. Однако в более сложных уравнениях, таких как выражения, содержащие члены в скобках, дроби и корни, подобные термины, которые можно комбинировать, могут быть нечетко видны. В этих случаях следуйте порядку операций, выполняя операции над членами вашего выражения по мере необходимости, пока не останутся операции сложения и вычитания.

• Например, давайте воспользуемся уравнением 5 (3x-1) + x ((2x) / (2)) + 8 - 3x. Было бы неправильно сразу рассматривать 3x и 2x как одинаковые термины и объединять их, потому что круглые скобки в выражении указывают на то, что мы должны сначала выполнить другие операции. Сначала мы выполняем арифметические операции с выражением в порядке операций, чтобы получить термины, которые мы можем использовать. См. Следующее:

  • 5 (3x-1) + x ((2x) / (2)) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x (x) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x² + 8 - 3х. Теперь, когда остались только операции сложения и вычитания, мы можем комбинировать похожие термины.
  • Икс² + (15x - 3x) + (8-5)
  • Икс² + 12x + 3

Метод 2 из 3: факторинг

Шаг 1. Определите наиболее общий фактор в выражении

Факторинг - это способ упростить выражение, удалив факторы, одинаковые во всех подобных терминах в выражении. Для начала найдите наибольший общий фактор, который есть у всех терминов - другими словами, наибольшее число, которое делит все термины в выражении целиком.

• Воспользуемся уравнением 9x.² + 27x - 3. Обратите внимание, что каждый член в этом уравнении делится на 3. Поскольку члены не делятся на большее число, мы можем сказать, что

  Шаг 3. это наш самый большой общий фактор.

Шаг 2. Разделите члены выражения на наибольший общий множитель

Затем разделите каждый член в вашем уравнении на наибольший общий множитель, который вы только что нашли. Факторные члены будут иметь меньший коэффициент, чем исходное уравнение.

• Давайте разложим наше уравнение на множители по его наибольшему общему множителю, 3. Для этого мы разделим каждый член на 3.

  • 9x²/ 3 = 3x²
  • 27x / 3 = 9x
  • -3/3 = -1
  • Таким образом, наше новое выражение 3x² + 9x - 1.

Шаг 3. Запишите свое выражение как произведение наибольшего общего множителя на оставшиеся члены

Ваше новое выражение не эквивалентно исходному выражению, поэтому было бы неправильно говорить, что выражение было упрощено. Чтобы сделать наше новое выражение равным исходному, мы должны включить тот факт, что наше выражение было разделено на наибольший общий множитель. Заключите новое выражение в круглые скобки и напишите наибольший общий множитель исходного уравнения как коэффициент выражения в скобках.

Для нашего примера уравнения 3x² + 9x - 1, мы можем заключить выражение в круглые скобки и умножить его на наибольший общий множитель исходного уравнения, чтобы получить 3 (3x² + 9x - 1). Это уравнение эквивалентно исходному уравнению 9x² + 27x - 3.

Шаг 4. Используйте факторинг для упрощения дробей

Теперь вам может быть интересно, зачем используется факторинг, если даже после удаления наибольшего общего множителя новое выражение нужно снова умножить на этот множитель. Фактически, факторинг позволяет математикам выполнять различные трюки для упрощения выражений. Один из его самых простых приемов использует тот факт, что умножение числителя и знаменателя дроби на одно и то же число может дать эквивалентные дроби. См. Следующее:

• Скажем, наш исходный пример выражения, 9x² + 27x - 3, является квантором большей дроби с 3 в числителе. Дробь будет выглядеть так: (9x² + 27x - 3) / 3. Мы можем использовать факторинг для упрощения дробей.

  • Подставим форму факторизации нашего исходного выражения на выражение в числителе: (3 (3x² + 9x - 1)) / 3
  • Обратите внимание, что теперь и числитель, и знаменатель имеют коэффициент 3. Разделив числитель и знаменатель на 3, мы получим: (3x² + 9x - 1) / 1.
  • Поскольку любая дробь со знаменателем 1 эквивалентна членам числителя, мы можем сказать, что нашу начальную дробь можно упростить до 3x² + 9x - 1.

Метод 3 из 3: Применение дополнительных навыков упрощения

Шаг 1. Упростите дроби, разделив их на одинаковые множители

Как отмечалось выше, если числитель и знаменатель уравнения имеют одинаковые коэффициенты, эти коэффициенты могут быть полностью опущены в дроби. Иногда может потребоваться факторизация числителя, знаменателя или того и другого (как в случае с примером задачи выше), в то время как иногда одни и те же факторы часто очевидны. Обратите внимание, что также можно разделить члены числителя уравнением в знаменателе один за другим, чтобы получить простое выражение.

• Давайте поработаем над примером, не требующим выделения. Для дробей (5x² + 10x + 20) / 10, мы можем разделить каждый член в числителе на 10 для упрощения, даже если коэффициент равен 5 в 5x² не больше 10, поэтому 10 не имеет значения.

  Если мы это сделаем, мы получим ((5x²) / 10) + x + 2. Если бы мы хотели, мы могли бы переписать первый член как (1/2) x² так что получаем (1/2) x² + х + 2.

Шаг 2. Используйте квадрат множителей, чтобы упростить корни

Выражение под знаком корня называется корневым выражением. Это выражение можно упростить, указав факторы в квадрате (факторы, которые представляют собой квадраты целых чисел) и отдельно выполнив операцию извлечения квадратного корня, чтобы удалить их из-под знака квадратного корня.

• Приведем простой пример - (90). Если мы подумаем о 90 как о произведении двух его множителей, 9 и 10, мы можем извлечь квадратный корень из 9, которое является целым числом 3, и удалить его из знака корня. Другими словами:

  • √(90)
  • √(9 × 10)
  • (√(9) × √(10))
  • 3 × √(10)
  • 3√(10)

Шаг 3. Складываем показатели при умножении двух показателей; вычесть при делении

Некоторые алгебраические выражения требуют умножения или деления степенных членов. Вместо того, чтобы вычислять или делить каждый показатель вручную, просто складывайте показатели при умножении и вычитайте при делении, чтобы сэкономить время. Эту концепцию также можно использовать для упрощения выражений переменных.

• Например, воспользуемся выражением 6x³ × 8x⁴ + (х¹⁷/Икс¹⁵). В любом случае, когда требуется умножение или деление показателей степени, мы будем соответственно вычитать или добавлять показатели, чтобы быстро найти простой член. См. Следующее:

  • 6x³ × 8x⁴ + (х¹⁷/Икс¹⁵)
  • (6 × 8) х^{3 + 4} + (х^{17 - 15})
  • 48x⁷ + х²

• Для объяснения того, как это работает, см. Ниже:

  • Умножение членов в экспонентах на самом деле похоже на умножение членов не в длинных показателях. Например, потому что x³ = x × x × x и x ⁵ = х × х × х × х × х, х³ × х⁵ = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), или x⁸.
  • Почти то же самое, деление на экспоненты похоже на деление членов, а не на длинные экспоненты. Икс⁵/Икс³ = (х × х × х × х × х) / (х × х × х). Поскольку каждый член в числителе можно вычеркнуть, найдя тот же член в знаменателе, в числителе осталось только два x и ничего не осталось внизу, что дает ответ x².

подсказки

• Всегда помните, что вы должны представлять эти числа как имеющие положительные и отрицательные знаки. Многие задумываются, какой Знак мне поставить?
• Обратитесь за помощью, если она вам нужна!
• Упростить алгебраические выражения непросто, но как только вы это поймете, вы будете использовать его всю оставшуюся жизнь.

Предупреждение

• Всегда ищите похожие племена, и пусть вас не обманывают звания.
• Убедитесь, что вы не добавляете числа, полномочия или операции, которые не должны быть случайно.