В математике факторинг - это способ поиска чисел или выражений, умножение которых дает заданное число или уравнение. Факторинг - полезный навык для решения простых задач алгебры; способность хорошо разложить на множители становится важной при работе с квадратными уравнениями и другими формами многочленов. Факторинг можно использовать для упрощения алгебраических выражений, чтобы упростить их решения. Факторинг может даже дать вам возможность исключить некоторые возможные ответы намного быстрее, чем решать их вручную.
Шаг
Метод 1 из 3: разложение чисел на множители и простые алгебраические выражения
Шаг 1. Разберитесь в определении факторинга применительно к отдельным числам
Факторинг - это простая концепция, но на практике она может быть сложной при применении к сложным уравнениям. Поэтому проще всего подойти к концепции факторизации, начав с простых чисел, затем переходя к простым уравнениям, прежде чем, наконец, перейти к более сложным приложениям. Множители числа - это числа, при умножении которых получается число. Например, множители 12 равны 1, 12, 2, 6, 3 и 4, потому что 1 × 12, 2 × 6 и 3 × 4 равны 12.
- Другой способ думать об этом - это то, что множители числа - это числа, которые могут делиться на число поровну.
-
Сможете ли вы найти все множители числа 60? Мы используем число 60 для различных целей (минуты в часе, секунды в минуте и т. Д.), Потому что оно может делиться на множество других чисел.
Множители 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60
Шаг 2. Поймите, что выражения переменных также могут быть факторизованы
Так же, как сами числа могут быть факторизованы, переменные с числовыми коэффициентами также могут быть разложены на множители. Для этого достаточно найти множители переменных коэффициентов. Знание того, как разложить переменную на множители, очень полезно для упрощения алгебраических уравнений, включающих эту переменную.
-
Например, переменная 12x может быть записана как произведение факторов 12 и x. Мы можем записать 12x как 3 (4x), 2 (6x) и т. Д., Используя любой множитель из 12, который лучше всего подходит для наших целей.
Мы можем множить множитель в 12 раз несколько раз. Другими словами, нам не нужно останавливаться на 3 (4x) или 2 (6x) - мы можем множить 4x и 6x, чтобы получить 3 (2 (2x) и 2 (3 (2x). Конечно, эти два выражения эквивалентны
Шаг 3. Примените дистрибутивное свойство умножения к фактор-алгебраическим уравнениям
Используя свои знания о том, как разложить на множители как отдельные числа, так и переменные с коэффициентами, вы можете упростить простые алгебраические уравнения, найдя факторы, общие для чисел и переменных в алгебраических уравнениях. Обычно, чтобы упростить уравнение, мы пытаемся найти наибольший общий множитель. Этот процесс упрощения возможен благодаря распределительному свойству умножения, которое применимо к любому числу a, b и c. а (Ь + с) = ab + ac.
- Давайте попробуем примерный вопрос. Чтобы разложить алгебраическое уравнение 12x + 6 на множители, сначала давайте попробуем найти наибольший общий делитель 12x и 6. 6 - это наибольшее число, которое может равномерно разделить 12x и 6, поэтому мы можем упростить уравнение до 6 (2x + 1)..
- Этот процесс также применяется к уравнениям с отрицательными числами и дробями. Например, x / 2 + 4 можно упростить до 1/2 (x + 8), а -7x + -21 можно разложить на множители до -7 (x + 3).
Метод 2 из 3: разложение квадратных уравнений на множители
Шаг 1. Убедитесь, что уравнение имеет квадратичную форму (ax2 + bx + c = 0).
Квадратные уравнения имеют вид ax2 + bx + c = 0, где a, b и c - числовые константы и не равны 0 (обратите внимание, что a может быть равно 1 или -1). Если у вас есть уравнение, которое имеет одну переменную (x), которая имеет один член x в степени двух или более, вы обычно перемещаете эти члены в уравнении, используя простые алгебраические операции, чтобы получить 0 по обе стороны от знака равенства и топора2, так далее. с другой стороны.
- Например, давайте подумаем об алгебраическом уравнении. 5x2 + 7x - 9 = 4x2 + x - 18 можно упростить до x2 + 6x + 9 = 0, что является квадратной формой.
- Уравнения с большей степенью x, например x3, Икс4, так далее. не являются квадратными уравнениями. Эти уравнения представляют собой кубические уравнения в четвертой степени и т. Д., Если уравнение не может быть упрощено, чтобы удалить эти члены x со степенью больше 2.
Шаг 2. В квадратном уравнении, где a = 1, разложить на (x + d) (x + e), где d × e = c и d + e = b
Если ваше квадратное уравнение имеет вид x2 + bx + c = 0 (другими словами, если коэффициент при члене x2 = 1), возможно (но не гарантируется), что для разложения уравнения на множители можно использовать довольно простой сокращенный метод. Найдите два числа, умножение которых дает c а также сложены, чтобы произвести b. После того, как вы нашли эти два числа d и e, поместите их в следующее выражение: (х + г) (х + е). Эти два члена при умножении дают вам квадратное уравнение - другими словами, они являются множителями вашего квадратного уравнения.
- Например, давайте подумаем о квадратном уравнении x2 + 5x + 6 = 0. 3 и 2 умножаются, чтобы получить 6, а также складываются, чтобы получить 5, поэтому мы можем упростить это уравнение до (x + 3) (x + 2).
-
Небольшая разница в этом базовом методе сокращения заключается в различиях самих сходств:
- Если квадратное уравнение имеет вид x2-bx + c, ваш ответ будет в такой форме: (x - _) (x - _).
- Если уравнение имеет вид x2+ bx + c, ваш ответ выглядит так: (x + _) (x + _).
- Если уравнение имеет вид x2-bx-c, ваш ответ будет в форме (x + _) (x - _).
- Примечание: числа в пробелах могут быть дробными или десятичными. Например, уравнение x2 + (21/2) x + 5 = 0 разлагается на (x + 10) (x + 1/2).
Шаг 3. Если возможно, проведите проверки
Вы не поверите, но для несложных квадратных уравнений один из допустимых методов факторизации - изучить проблему, а затем рассмотреть возможные ответы, пока не найдете правильный ответ. Этот метод также известен как факторинг через экспертизу. Если уравнение имеет вид ax2+ bx + c и a> 1, ваш факторный ответ имеет вид (dx +/- _) (ex +/- _), где d и e - константы ненулевых чисел, которые при умножении дают a. Ни d, ни e (или оба) не могут быть 1, хотя это не обязательно. Если оба равны 1, вы в основном используете сокращенный метод, описанный выше.
Давайте подумаем на примере проблемы. 3x2 - 8x + 4 сначала выглядит сложно. Однако, когда мы понимаем, что 3 имеет только два фактора (3 и 1), это уравнение становится проще, потому что мы знаем, что наш ответ должен иметь форму (3x +/- _) (x +/- _). В этом случае добавление -2 к обоим пробелам дает правильный ответ. -2 × 3x = -6x и -2 × x = -2x. -6x и -2x в сумме дают -8x. -2 × -2 = 4, поэтому мы можем видеть, что члены, разложенные на множители в скобках, при умножении дают исходное уравнение.
Шаг 4. Решите, заполнив квадрат
В некоторых случаях квадратные уравнения можно быстро и легко разложить на множители с помощью специальных алгебраических тождеств. Любое квадратное уравнение вида x2 + 2xh + h2 = (х + ч)2. Итак, если в вашем уравнении ваше значение b в два раза больше квадратного корня из вашего значения c, ваше уравнение может быть разложено на (x + (root (c)))2.
Например, уравнение x2 + 6x + 9 имеет такую форму. 32 равно 9, а 3 × 2 равно 6. Итак, мы знаем, что факторная форма этого уравнения равна (x + 3) (x + 3) или (x + 3)2.
Шаг 5. Используйте множители для решения квадратных уравнений
Независимо от того, как вы разложили квадратное уравнение на множители, после факторизации уравнения вы сможете найти возможные ответы на значение x, приравняв каждый множитель к нулю и решив их. Поскольку вы ищете значение x, которое делает ваше уравнение равным нулю, значение x, которое делает любой множитель равным нулю, является возможным ответом на ваше квадратное уравнение.
Вернемся к уравнению x2 + 5x + 6 = 0. Это уравнение преобразуется в (x + 3) (x + 2) = 0. Если любой из множителей равен 0, все уравнения равны 0, поэтому наши возможные ответы для x - числа - число, которое делает (x + 3) и (x + 2) равны 0. Эти числа равны -3 и -2 соответственно.
Шаг 6. Проверьте свои ответы - некоторые ответы могут вводить в заблуждение
Когда вы найдете возможные ответы для x, вставьте их обратно в исходное уравнение, чтобы проверить, правильный ли ответ. Иногда ответы, которые вы найдете, не приводят к тому, что исходное уравнение при повторном вводе не становится равным нулю. Мы называем этот ответ девиантным и игнорируем его.
-
Положим -2 и -3 в x2 + 5x + 6 = 0. Во-первых, -2:
- (-2)2 + 5(-2) + 6 = 0
- 4 + -10 + 6 = 0
- 0 = 0. Это правильный ответ, поэтому -2 - правильный ответ.
-
Теперь попробуем -3:
- (-3)2 + 5(-3) + 6 = 0
- 9 + -15 + 6 = 0
- 0 = 0. Этот ответ тоже правильный, поэтому -3 правильный ответ.
Метод 3 из 3: Факторинг других уравнений
Шаг 1. Если уравнение записано в виде2-b2, разложить на (a + b) (a-b).
Уравнения с двумя переменными имеют разные множители, чем основное квадратное уравнение. Для уравнения a2-b2 все, где a и b не равны 0, коэффициенты уравнения равны (a + b) (a-b).
Например, уравнение 9x2 - 4 года2 = (3x + 2y) (3x - 2y).
Шаг 2. Если уравнение записано в виде2+ 2ab + b2, разложить на (a + b)2.
Обратите внимание, что если трехчлен имеет вид a2-2ab + b2, форм-факторы немного отличаются: (a-b)2.
4x. Уравнение2 + 8xy + 4y2 можно переписать как 4x2 + (2 × 2 × 2) ху + 4у2. Теперь мы видим, что форма верна, поэтому мы можем быть уверены, что множители нашего уравнения равны (2x + 2y)2
Шаг 3. Если уравнение записано в виде3-b3, разложить на (a-b) (a2+ ab + b2).
Наконец, уже упоминалось, что кубические уравнения и даже более высокие степени могут быть разложены на множители, хотя процесс факторизации быстро становится очень сложным.
Например, 8x3 - 27 лет3 с учетом (2x - 3y) (4x2 + ((2x) (3y)) + 9y2)
подсказки
- а2-b2 можно факторизовать,2+ b2 не могут быть учтены.
- Помните, как разложить константу на множители. Это может помочь.
- Будьте осторожны с дробями в процессе факторинга и работайте с дробями правильно и аккуратно.
- Если у вас есть трехчлен вида x2+ bx + (b / 2)2, форм-фактор (x + (b / 2))2. (Вы можете столкнуться с этой ситуацией при заполнении квадрата.)
- Помните, что a0 = 0 (свойство произведения нуля).
