Это статья о том, как разложить кубический многочлен на множители. Мы рассмотрим, как использовать факторы, используя группировки, а также факторы из независимых терминов.
Шаг
Метод 1 из 2: Факторинг по группировке
Шаг 1. Сгруппируйте многочлен на две части
Группирование многочлена на две половины позволит вам разбить каждую часть отдельно.
Предположим, мы используем многочлен: x3 + 3x2 - 6x - 18 = 0. Разбить на (x3 + 3x2) и (- 6x - 18).
Шаг 2. Найдите одинаковые факторы в каждом разделе
- От (x3 + 3x2), мы видим, что тот же множитель равен x2.
- Из (- 6x - 18) мы видим, что равный коэффициент равен -6.
Шаг 3. Уберите равные множители из обоих терминов
- Выньте коэффициент x2 из первой части получаем x2(х + 3).
- Вычитая множитель -6 из второй части, мы получаем -6 (x + 3).
Шаг 4. Если каждый из двух терминов имеет одинаковый коэффициент, вы можете объединить факторы вместе
Вы получите (x + 3) (x2 - 6).
Шаг 5. Найдите ответ, посмотрев на корни уравнения
Если у вас есть x2 в корнях уравнения, помните, что уравнению будут удовлетворять как положительные, так и отрицательные числа.
Ответы -3, 6 и -√6
Метод 2 из 2: факторинг с использованием бесплатных условий
Шаг 1. Перепишем уравнение в виде aX3+ bX2+ cX+ d.
Предположим, мы используем многочлен: x3 - 4x2 - 7х + 10 = 0.
Шаг 2. Найдите все множители «d»
Константа «d» - это число, рядом с которым нет переменных, например «x».
Факторы - это числа, которые можно умножить, чтобы получить другое число. В этом случае множители 10, то есть «d», равны: 1, 2, 5 и 10
Шаг 3. Найдите один множитель, делающий многочлен равным нулю
Мы должны определить, какие факторы делают полином равным нулю, когда мы подставляем факторы в каждый «x» в уравнении.
-
Начните с первого множителя, который равен 1. Подставьте «1» вместо каждого «x» в уравнении:
(1)3 - 4(1)2 - 7(1) + 10 = 0.
- Вы получите: 1-4-7 + 10 = 0.
- Поскольку 0 = 0 - истинное утверждение, вы знаете, что x = 1 - это ответ.
Шаг 4. Сделайте некоторые настройки
Если x = 1, вы можете изменить порядок выражения, чтобы оно выглядело немного иначе, не меняя его смысла.
«x = 1» то же самое, что «x - 1 = 0». Вы просто вычитаете на «1» из каждой части уравнения
Шаг 5. Извлеките корень уравнения из остальной части уравнения
«(x - 1)» - это корень уравнения. Проверьте, можете ли вы вычесть остальную часть уравнения. Выньте многочлены один за другим.
- Можете ли вы вынести (x - 1) из x3? Нет. Но вы можете одолжить -x2 второй переменной, то вы можете разложить ее на множители: x2(х - 1) = х3 - Икс2.
- Можете ли вы вынести (x - 1) из оставшейся части второй переменной? Нет. Вы должны немного позаимствовать из третьей переменной. Вы должны занять 3x из -7x. Это даст результат -3x (x - 1) = -3x2 + 3х.
- Поскольку вы взяли 3x из -7x, третья переменная становится -10x, а константа равна 10. Можете ли вы ее разложить на множители? Да! -10 (х - 1) = -10x + 10.
- Что вы делаете, так это устанавливаете переменную так, чтобы вы могли вынести (x - 1) из всего уравнения. Вы меняете уравнение примерно так: x3 - Икс2 - 3x2 + 3x - 10x + 10 = 0, но уравнение по-прежнему равно x3 - 4x2 - 7х + 10 = 0.
Шаг 6. Продолжайте заменять множителями независимого члена
Посмотрите на число, которое вы разложили на множители (x - 1) на шаге 5:
- Икс2(x - 1) - 3x (x - 1) - 10 (x - 1) = 0. Вы можете переставить его, чтобы еще раз облегчить факторизацию: (x - 1) (x2 - 3х - 10) = 0.
- Здесь вам нужно только факторизовать (x2 - 3х - 10). Результат факторинга равен (x + 2) (x - 5).
Шаг 7. Ваш ответ - факторизованные корни уравнения
Вы можете проверить правильность своего ответа, подставив каждый ответ отдельно в исходное уравнение.
- (x - 1) (x + 2) (x - 5) = 0. Это даст ответы 1, -2 и 5.
- Подставьте -2 в уравнение: (-2)3 - 4(-2)2 - 7(-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0.
- Подставьте 5 в уравнение: (5)3 - 4(5)2 - 7(5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0.
подсказки
- Не существует полинома куба, который нельзя разложить на множители с использованием действительных чисел, потому что у каждого куба всегда есть действительный корень. Кубический многочлен типа x3 + x + 1, имеющий иррациональный действительный корень, не может быть разложен на многочлен с целыми или рациональными коэффициентами. Хотя его можно разложить на множители по формуле куба, его нельзя уменьшить как целочисленный многочлен.
- Кубический многочлен - это произведение трех многочленов в степени единицы или произведения многочлена в степени единицы и полинома в степени два, которые не могут быть разложены на множители. Для ситуаций, подобных последнему, вы используете деление в столбик после нахождения первого полинома степени, чтобы получить полином второй степени.
