Хотя временами это может показаться пугающим, проблема извлечения квадратного корня на самом деле не так уж и сложна. Простые задачи извлечения квадратного корня обычно решаются так же легко, как и базовые задачи умножения и деления. Для более сложных вопросов потребуется немного дополнительных усилий. Но при правильном подходе любую сложную проблему можно решить. В этой статье мы поможем вам решить задачу извлечения квадратного корня за несколько простых шагов.
Шаг
Часть 1 из 3: Что такое квадраты и квадратные корни
Шаг 1. Квадрат - это число, умноженное на само число
Чтобы понять квадратный корень, хорошо сначала понять значение квадрата. Проще говоря, квадрат - это число, умноженное на само число. Например, 3 в квадрате равно 3 умноженным на 3 = 9, а 9 в квадрате равно 9 умноженным на 9 = 81. Квадрат представлен маленькой 2 в правом верхнем углу числа в квадрате - вот так: 32, 92, 1002, так далее.
Попробуйте возвести в квадрат другие числа, чтобы проверить эту концепцию. Помните, возведение числа в квадрат - это умножение числа на само себя. Вы можете даже возвести в квадрат отрицательные числа. Результатом всегда будет положительное число. Например, -82 = -8 × -8 = 64.
Шаг 2. Квадратный корень - это величина, обратная квадрату
Символ квадратного корня (√, также известный как "радикальный" символ) по существу противоположен символу 2. Когда вы найдете радикал, спросите себя: если возвести в квадрат какое число, получится число внутри радикала? Например, если вы посмотрите на √ (9), найдите число, которое в квадрате равно девяти. Таким образом, ответ - «три», потому что 32 = 9.
-
В качестве другого примера давайте попробуем найти квадратный корень из 25 (√ (25)). То есть мы ищем число, возведение которого в квадрат дает 25. Потому что 52 = 5 × 5 = 25, тогда (25) =
Шаг 5..
-
Квадратный корень также можно считать «уничтожением» квадрата. Например, если мы хотим найти (64), квадратный корень из 64, подумайте о 64 как о 8.2. Поскольку символ квадратного корня по существу «отрицает» квадратный символ, поэтому (64) = (82) =
Шаг 8..
Шаг 3. Знайте разницу между идеальными и несовершенными квадратами
До сих пор результаты наших вычислений квадратного корня были целыми числами. Вопросы, с которыми вы столкнетесь позже, не будут такими простыми, будут вопросы с десятичными числами и несколькими цифрами после запятой. Числа, округленные после возведения в квадрат (то есть не дробные или десятичные числа), также называются «полными квадратами». Все предыдущие примеры (9, 25 и 64) представляют собой точные квадраты, потому что если они возведены в квадрат, результатом будет целое число (3, 5 и 8).
С другой стороны, числа, которые не округляются после возведения в квадрат, являются «несовершенными квадратами». Обычно после возведения в квадрат результат представляет собой дробное или десятичное число. Иногда даже числа выглядят очень сложными, например (13) = 3, 605551275464…
Шаг 4. Запомните квадрат чисел 1-12
Как вы уже знаете, возвести в квадрат точное квадратное число очень просто. Запоминание квадратов чисел от 1 до 12 может быть очень полезным, потому что эти числа будут часто появляться в задаче. Таким образом, вы сэкономите время при работе над вопросами. Первые 12 чисел в квадрате:
-
12 = 1 × 1 =
Шаг 1.
-
22 = 2 × 2 =
Шаг 4.
-
32 = 3 × 3 =
Шаг 9.
-
42 = 4 × 4 =
Шаг 16.
-
52 = 5 × 5 =
Шаг 25.
- 62 = 6 × 6 = 36
- 72 = 7 × 7 = 49
- 82 = 8 × 8 = 64
- 92 = 9 × 9 = 81
- 102 = 10 × 10 = 100
- 112 = 11 × 11 = 121
- 122 = 12 × 12 = 144
Шаг 5. Упростите квадратный корень, удалив полные квадраты
Найти квадратный корень из несовершенного квадратного числа может быть непросто, особенно если вы не пользуетесь калькулятором. Однако возведенное в квадрат число можно упростить, чтобы его было легче вычислить. Для этого просто разделите число внутри корня на несколько множителей, затем удалите квадратный корень из полного квадратного числа и запишите ответ вне корня. Этот метод довольно прост - чтобы вы лучше поняли, вот дополнительные объяснения:
- Допустим, мы хотим вычислить квадратный корень из 900. Итак, просто разделите 900 на множители. «Факторы» - это числа, которые можно перемножить, чтобы получить другое число. Например, число 6 может быть получено умножением и 1 × 6 и 2 × 3, поэтому множители 6 равны 1, 2, 3 и 6.
- Помня об этом принципе, давайте разберем 900 на его факторы. Для начала мы запишем 900 как 9 × 100. Поскольку 9 - это полный квадрат, мы можем извлечь квадратный корень из 100 отдельно. (9 × 100) = (9) × (100) = 3 × (100). Другими словами, (900) = 3√(100).
-
Мы можем еще больше упростить его, разделив 100 на его множители, а именно 25 и 4. (100) = (25 × 4) = (25) × (4) = 5 × 2 = 10. Следовательно, можно вычислить (900) = 3 (10) =
Шаг 30..
Шаг 6. Используйте мнимое число для извлечения квадратного корня из отрицательного числа
Подумайте, какое число, если возвести в квадрат -16? Ответ нет. Все числа в квадрате результат всегда положительный, потому что он отрицательный (-), при умножении на отрицательный результат будет положительным (+). Итак, чтобы возвести отрицательное число в квадрат, нам нужно заменить отрицательное число мнимым числом (обычно в форме букв или символов). Например, переменная «i» обычно используется для извлечения квадратного корня из -1. Мнимое число всегда представляет собой квадратный корень отрицательного числа.
Следует отметить, что, хотя мнимые числа никогда не представляются числами, их все же можно рассматривать как числа по-разному. Например, квадратный корень отрицательного числа можно возвести в квадрат, чтобы удалить квадратный корень. Например, я2 = - 1
Часть 2 из 3: Используйте алгоритм стиля длинного деления
Шаг 1. Решите задачи извлечения квадратного корня, такие как задачи деления в столбик
Хотя трудоемкие, сложные задачи извлечения квадратного корня могут быть решены без калькулятора. Для этого воспользуемся методом (или алгоритмом), аналогичным делению на длинный стек.
- Начните с написания задачи о квадратном корне, как если бы вы написали задачу о длинном делении. В качестве примера задачи найдите корень 6,45, который не является целым числом. Сначала мы пишем радикальный символ (√), затем под ним записываем число, которое мы хотим возвести в квадрат. Затем нарисуйте линию над числами, как при делении длинного стека. Теперь символ «√» выглядит так, как будто у него хвост с числом 6,45 внизу.
- Мы запишем цифры, указанные выше, поэтому не забудьте оставить пустое место.
Шаг 2. Сгруппируйте цифры номера в пары
Сначала сгруппируйте цифры числа под корнем в пары, начиная с десятичной точки. Сделайте своего рода маркер (точка, запятая, линия и т. Д.) Между парами для облегчения отслеживания.
В примере задачи 6, 45 будут разделены на 6-, 45-00. Помните, что слева есть «оставшиеся» цифры - это не проблема.
Шаг 3. Найдите наибольшее число, значение квадрата которого меньше или равно первой группе
Начните с первого числа в группе слева. Выберите наибольшее число, значение квадрата которого меньше или равно в группе. Например, если в группе 37 человек, выберите 6, потому что 62 = 36 <37, но 72 = 49> 37. Напишите это число над первой группой. Это число - первая цифра вашего ответа.
-
В примере задачи первая группа 6-, 45-00 - 6. Наибольшее число, которое меньше или равно 6 в квадрате, равно
Шаг 2. - 22 = 4. Напишите цифру «2» над 6, и хвост будет корнем.
Шаг 4. Умножьте только что записанное число, затем уменьшите его и вычтите
Возьмите первую цифру вашего ответа (написанную над корнем) и умножьте ее. Напишите ответ под первой группой и вычтите, чтобы найти разницу. Перетащите следующую группу справа от только что рассчитанной разницы. Наконец, напишите последнюю цифру умножения первой цифры вашего ответа слева и оставьте пустое место справа.
В примере задачи удвоенное число равно 2 (первая цифра предыдущего ответа). 2 × 2 = 4. Затем вычтем 4 на 6 (из первой группы). 6 - 4 результат будет 2. Затем опустите следующую группу (45), и мы получим 245. Наконец, снова напишите число 4 слева и оставьте немного места справа, например: 4_
Шаг 5. Заполните пустое место
Добавьте цифры справа от числа, которое вы написали слева. Выберите цифру, которая дает наибольшее значение при умножении на это новое число, но все же меньше или равна «производному числу». Например, если «производное число» - 1700, а число слева от вас - 40_, следует ввести число «4», потому что 404 × 4 = 1616 <1700, а 405 × 5 = 2025. Число, найденное в этот шаг - вторая цифра вашего ответа, поэтому напишите его над радикальным символом.
-
В примере задачи мы будем искать число рядом с 4_ × _, ответ которого является наибольшим числом, но меньше или равен 245. Ответ:
Шаг 5.. 45 × 5 = 225, а 46 × 6 = 276.
Шаг 6. Продолжайте использовать цифры «пустое место», чтобы найти свой ответ
Продолжайте использовать длинную схему деления с накоплением до тех пор, пока разница между вычитаниями получаемых чисел не станет равной нулю или пока не будет получено достаточно точное число. Когда вы закончите, числа, которые вы использовали для заполнения пропусков на каждом этапе (плюс самое первое число, которое вы использовали), составляют каждую цифру вашего ответа.
-
В примере задачи вычтите 245 на 220, чтобы получить 20. Затем мы уменьшим следующую группу цифр, 00, и получим 2000. Умножим число над радикальным символом, и мы получим 25 × 2 = 50. Чтобы заполнить в пробелах 50_ × _ = / <2 000 получаем число
Шаг 3.. Теперь у нас есть цифра 253 над радикальным символом - повторите этот процесс еще раз и получите 9 в следующей цифре.
Шаг 7. Удалите десятичный знак из начала координат
Чтобы получить окончательный ответ, поставьте десятичную запятую в правильное положение. Это просто - просто поставьте десятичную точку на одну строку с десятичной точкой под радикальным символом. Например, число под корнем - 49, 8, поэтому поставьте десятичную точку между числами выше 8 и 9.
В примере задачи, если число под корнем - 6, 45, то десятичная точка будет стоять на линии между цифрами 2 и 5. Это означает, что окончательный ответ будет 2, 539.
Часть 3 из 3: Быстрая оценка несовершенных квадратов
Шаг 1. Найдите несовершенный квадрат с помощью аппроксимации
Как только вы запомните идеальные квадраты, поиск несовершенных квадратов станет намного проще. Уловка состоит в том, чтобы найти идеальный квадрат до и после числа, которое вы ищете. Затем определите, какой из двух идеальных квадратов ближе всего к искомому числу.
Например, мы хотим найти квадратный корень из 40. Полное квадратное число до и после 40 равно 6.2 и 72, что составляет 36 и 49. Поскольку 40 больше 36 и меньше 49, квадратный корень из 40 должен быть между 6 и 7. Число 40 ближе к 36, чем 49, поэтому квадратный корень из 40 ближе к 6.. Вот несколько шагов, чтобы найти точный ответ.
Шаг 2. Оцените квадратный корень до одной цифры после запятой
Когда вы определили два точных квадратных числа до и после искомого числа, остальное - это процесс поиска числа после запятой, которое наиболее близко к ответу. Начните с предполагаемого однозначного числа после запятой. Этот процесс будет повторяться, пока вы не получите ответ с нужной точностью.
В примере задачи разумное приближение квадратного корня из 40 равно 6, 4, потому что ответ, скорее всего, ближе к 6, чем к 7.
Шаг 3. Умножьте приблизительное число на само число
Другими словами, возведите приблизительное число в квадрат. Если повезет, результатом будет номер проблемы. Если нет, продолжайте складывать или вычитать числа после запятой, пока не найдете квадрат, ближайший к числу в задаче.
- Умножив 6, 4 на 6, 4, получим 6, 4 × 6, 4 = 40, 96, что чуть выше 40.
- Поскольку первоначальный эксперимент был избыточным, вычтите полученное вами приближение на один десятичный знак, который равен 6, 3 × 6, 3 = 39, 69. Этот результат немного меньше числа в проблеме. Это означает, что квадратный корень из 40 находится между 6, 3 и 6, 4. Тогда, поскольку 39,69 ближе к 40, квадратный корень из 40 также ближе к 6, 3.
Шаг 4. Прогнозирование вперед по мере необходимости
Используйте свой ответ, если считаете, что он достаточно точен. Но если нет, просто продолжайте примерный шаблон выше, пока не найдете ответ с тремя или четырьмя цифрами после запятой - в любом случае, пока не достигнете желаемого уровня точности.
