Производные можно использовать для получения полезных характеристик из графика, таких как максимальное, минимальное, пиковое, минимальное и наклонное значения. Вы даже можете использовать его для построения графиков сложных уравнений без графического калькулятора! К сожалению, работа над производными часто бывает утомительной, но эта статья поможет вам некоторыми советами и хитростями.
Шаг
Шаг 1. Ознакомьтесь с производными обозначениями
Следующие два обозначения являются наиболее часто используемыми, хотя многие другие можно найти здесь, в Википедии.
- Обозначение Лейбница Это обозначение является наиболее часто используемым, когда уравнение включает y и x. dy / dx буквально означает производную y по x. Было бы полезно думать об этом как о y / Δx для очень разных значений x и y. Это объяснение приводит к определению предела производной: limч-> 0 (е (х + ч) -f (х)) / ч. Используя это обозначение для второй производной, вы должны написать: d2г / дх2.
- Обозначение Лагранжа Производная функции f также записывается как f '(x). Это обозначение читается как f с ударением x. Эта запись короче, чем запись Лейбница, и полезна при рассмотрении производных как функций. Чтобы получить производную большей степени, просто добавьте 'к f, чтобы вторая производная была f' '(x).
Шаг 2. Разберитесь в значении производной и причинах спуска
Сначала, чтобы найти наклон линейного графика, берутся две точки на прямой, и их координаты вводятся в уравнение (y2 - у1)/(Икс2 - Икс1). Однако его можно использовать только для линейных графиков. Для квадратных уравнений и выше линия будет кривой, поэтому определение разницы между двумя точками не очень точное. Чтобы найти наклон касательной на графике кривой, берутся две точки и помещаются в общее уравнение, чтобы найти наклон графика кривой: [f (x + dx) - f (x)] / dx. Dx обозначает дельту x, которая представляет собой разницу между двумя координатами x в двух точках графика. Обратите внимание, что это уравнение совпадает с (y2 - у1)/(Икс2 - Икс1), только в другом виде. Поскольку было известно, что результаты будут неточными, был применен косвенный подход. Чтобы найти наклон касательной на (x, f (x)), dx должно быть близко к 0, чтобы две нарисованные точки сливались в одну точку. Однако вы не можете разделить 0, поэтому, как только вы ввели двухточечные значения, вам придется использовать факторинг и другие методы, чтобы удалить dx из нижней части уравнения. Как только вы это сделаете, сделайте dx 0, и все готово. Это наклон касательной на (x, f (x)). Производная уравнения - это общее уравнение для определения угла наклона любой касательной на графике. Это может показаться очень сложным, но ниже приведены некоторые примеры, которые помогут объяснить, как получить производную.
Метод 1 из 4: явные производные
Шаг 1. Используйте явную производную, если в вашем уравнении уже есть y с одной стороны
Шаг 2. Подставьте уравнение в уравнение [f (x + dx) - f (x)] / dx
Например, если уравнение y = x2, производная будет [(x + dx)2 - Икс2] / dx.
Шаг 3. Разверните и удалите dx, чтобы сформировать уравнение [dx (2x + dx)] / dx
Теперь вы можете использовать два dx сверху и снизу. Результат равен 2x + dx, а когда dx приближается к нулю, производная равна 2x. Это означает, что наклон любой касательной к графику y = x2 составляет 2x. Просто введите значение x для точки, для которой вы хотите найти наклон.
Шаг 4. Изучите шаблоны для вывода подобных уравнений
Вот несколько примеров.
- Любая экспонента - это степень, умноженная на значение, возведенное в степень меньше 1. Например, производная x5 в 5 раз больше4, а производная x3, 5 iis3, 5x2, 5. Если перед x уже стоит число, просто умножьте его на степень. Например, производная от 3x4 12x3.
- Производная любой константы равна нулю. Итак, производная 8 равна 0.
- Производная от суммы - это сумма соответствующих производных. Например, производная от x3 + 3x2 в 3 раза больше2 + 6x.
- Производная продукта - это умножение на первый фактор производной второго фактора плюс второй фактор, умноженное на производную первого фактора. Например, производная от x3(2x + 1) равно x3(2) + (2x + 1) 3x2, что равно 8x3 + 3x2.
- Производная частного (скажем, f / g) равна [g (производная от f) - f (производная от g)] / g2. Например, производная от (x2 + 2x - 21) / (x - 3) равно (x2 - 6х + 15) / (х - 3)2.
Метод 2 из 4: неявные производные
Шаг 1. Используйте неявные производные, если ваше уравнение еще не может быть записано с y на одной стороне
Фактически, если вы написали y с одной стороны, вычисление dy / dx было бы утомительным. Вот пример того, как вы можете решить этот тип уравнения.
Шаг 2. В этом примере x2y + 2y3 = 3x + 2y, замените y на f (x), чтобы вы помнили, что y на самом деле является функцией.
Тогда уравнение принимает вид x2f (x) + 2 [f (x)]3 = 3х + 2f (х).
Шаг 3. Чтобы найти производную этого уравнения, выведите обе части уравнения относительно x
Тогда уравнение принимает вид x2f '(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)]2f '(x) = 3 + 2f' (x).
Шаг 4. Снова замените f (x) на y
Будьте осторожны, чтобы не подставить f '(x), которая отличается от f (x).
Шаг 5. Найдите f '(x)
Ответ для этого примера будет (3 - 2xy) / (x2 + 6лет2 - 2).
Метод 3 из 4: производные высшего порядка
Шаг 1. Получение функции более высокого порядка означает, что вы выводите производную (до 2-го порядка)
Например, если проблема требует вывести третий порядок, просто возьмите производную производной от производной. Для некоторых уравнений производная высшего порядка будет равна 0.
Метод 4 из 4: цепное правило
Шаг 1. Если y - дифференциальная функция от z, а z - дифференциальная функция от x, y - составная функция от x, а производная y по x (dy / dx) равна (dy / du) * (du / dx)
Цепное правило также может быть комбинацией уравнений мощности, например: (2x4 - Икс)3. Чтобы найти производную, представьте, что это правило умножения. Умножьте уравнение на степень и уменьшите на 1 в степени. Затем умножьте уравнение на производную уравнения в скобках, которое увеличивает степень (в данном случае 2x ^ 4 - x). Ответ на этот вопрос - 3 (2x4 - Икс)2(8x3 - 1).
подсказки
- Не волнуйтесь, когда видите, что проблему трудно решить. Просто попробуйте разбить его на как можно больше частей, применяя правила умножения, частного и т. Д. Затем опустите каждую часть.
- Практикуйтесь с правилом умножения, правилом частного, правилом цепочки и особенно с неявными производными, потому что эти правила намного сложнее в исчислении.
- Хорошо разбирайтесь в своем калькуляторе; попробуйте различные функции калькулятора, чтобы узнать, как ими пользоваться. Очень полезно знать, как использовать касательные и производные функции в вашем калькуляторе, если они доступны.
- Вспомните основные тригонометрические производные и способы их использования.
