Как упростить сложные дроби: 9 шагов (с изображениями)

2024 Автор: Jason Gerald | [email protected]. Последнее изменение: 2024-01-15 08:22

Сложная дробь - это дробь, в числителе и знаменателе которой также содержится дробь. По этой причине сложные фракции иногда называют «сложенными фракциями». Упростить сложные дроби может быть легко или сложно, в зависимости от того, сколько чисел находится в числителе и знаменателе, является ли одно из чисел переменной или сложность числа переменной. См. Шаг 1 ниже, чтобы начать!

Шаг

Метод 1 из 2: упрощение сложных дробей с помощью обратного умножения

Шаг 1. При необходимости упростите числитель и знаменатель до одной дроби

Сложные дроби не всегда сложно решить. Фактически, сложные дроби, числитель и знаменатель которых содержат одну дробь, обычно довольно легко решить. Итак, если числитель или знаменатель (или оба) сложной дроби содержит несколько дробей или дробей и целое число, упростите его, чтобы получить единую дробь как в числителе, так и в знаменателе. Найдите наименьшее общее кратное (НОК) двух или более дробей.

• Например, предположим, что мы хотим упростить сложную дробь (3/5 + 2/15) / (5/7 - 3/10). Во-первых, мы упростим числитель и знаменатель сложной дроби до одной дроби.

  • Чтобы упростить числитель, используйте НОК 15, полученное умножением 3/5 на и 3/3. В числителе будет 9/15 + 2/15, что равно 11/15.
  • Чтобы упростить знаменатель, мы будем использовать результат НОК 70, который получается умножением 5/7 на 10/10 и 3/10 на 7/7. Знаменатель будет 50/70 - 21/70, что равно 29/70.
  • Таким образом, новая комплексная дробь (11/15)/(29/70).

Шаг 2. Инвертируйте знаменатель, чтобы найти обратную величину

По определению, деление одного числа на другое равносильно умножению первого числа на обратную величину второго числа. Теперь, когда у нас есть сложная дробь с единственной дробью в числителе и знаменателе, мы будем использовать это деление, чтобы упростить сложную дробь. Во-первых, найдите обратную дробь в нижней части сложной дроби. Сделайте это путем «инвертирования» дроби - поставив числитель вместо знаменателя и наоборот.

• В нашем примере дробь в знаменателе сложной дроби (11/15) / (29/70) равна 29/70. Чтобы найти обратное, мы "инвертируем" его так, чтобы получить 70/29.

  Обратите внимание: если в знаменателе комплексной дроби стоит целое число, мы можем рассматривать ее как дробь и находить обратную величину. Например, если комплексная дробь (11/15) / (29), мы можем сделать знаменатель 29/1, что означает, что обратная величина равна 1/29.

Шаг 3. Умножьте числитель комплексной дроби на обратную величину знаменателя

Теперь, когда у нас есть величина, обратная знаменателю комплексной дроби, умножьте ее на числитель, чтобы получить единственную простую дробь. Помните, что для умножения двух дробей мы производим только умножение крестиком - числитель новой дроби является номером числителя двух старых дробей, а также знаменателем.

В нашем примере мы умножим 11/15 × 70/29. 70 × 11 = 770 и 15 × 29 = 435. Итак, новая простая дробь 770/435.

Шаг 4. Упростите новую дробь, найдя наибольший общий множитель

У нас уже есть одна простая дробь, поэтому все, что нам нужно сделать, это придумать простейшее число. Найдите наибольший общий делитель числителя и знаменателя и разделите их на это число, чтобы упростить его.

Один из общих делителей 770 и 435 равен 5. Итак, если мы разделим числитель и знаменатель дроби на 5, мы получим 154/87. 154 и 87 не имеют общих множителей, так что это окончательный ответ!

Метод 2 из 2: упрощение сложных дробей, содержащих числа переменных

Шаг 1. Если возможно, используйте метод обратного умножения, описанный выше

Чтобы было ясно, почти все сложные дроби можно упростить, вычтя числитель и знаменатель на одну дробь и умножив числитель на обратную величину знаменателя. Сложные дроби, содержащие переменные, также включены, хотя чем сложнее выражение переменных в сложных дробях, тем сложнее и трудоемко будет использовать обратное умножение. Для "простых" сложных дробей, содержащих переменные, обратное умножение является хорошим выбором, но сложные дроби с несколькими номерами переменных в числителе и знаменателе может быть проще упростить альтернативным способом, описанным ниже.

• Например, (1 / x) / (x / 6) легко упростить обратным умножением. 1 / х × 6 / х = 6 / х². Здесь нет необходимости использовать альтернативные методы.
• Однако (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))) труднее упростить обратным умножением. Сокращение числителя и знаменателя сложных дробей до отдельных дробей, обратное умножение и сокращение результата до простейших чисел может оказаться сложным процессом. В этом случае может быть проще альтернативный метод, описанный ниже.

Шаг 2. Если обратное умножение нецелесообразно, начните с определения НОК дробного числа в комплексной дроби

Первый шаг - найти НОК всех дробных чисел в комплексной дроби - как в числителе, так и в знаменателе. Обычно, если одно или несколько дробных чисел имеют число в знаменателе, НОК - это число в знаменателе.

Это легче понять на примере. Попробуем упростить упомянутые выше сложные дроби (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))). Дробные числа в этой сложной дроби: (1) / (x + 3) и (1) / (x-5). НОК двух дробей - это число в знаменателе: (х + 3) (х-5).

Шаг 3. Умножьте числитель комплексной дроби на вновь найденное НОК

Затем нам нужно умножить число в комплексной дроби на НОК дробного числа. Другими словами, мы умножим все комплексные дроби на (КПК) / (КПК). Мы можем сделать это независимо, потому что (KPK) / (KPK) равно 1. Сначала перемножим сами числители.

• В нашем примере мы умножим комплексную дробь (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))), т.е. ((х + 3) (х-5)) / ((х + 3) (х-5)). Мы должны умножить числитель и знаменатель комплексной дроби, умножая каждое число на (x + 3) (x-5).

  • Сначала умножим числители: (((1) / (x + 3)) + x - 10) × (x + 3) (x-5)

    • = (((x + 3) (x-5) / (x + 3)) + x ((x + 3) (x-5)) - 10 ((x + 3) (x-5))
    • = (х-5) + (х (х.)² - 2х - 15)) - (10 (х² - 2х - 15))
    • = (х-5) + (х³ - 2x² - 15x) - (10x² - 20х - 150)
    • = (х-5) + х³ - 12x² + 5x + 150
    • = Икс³ - 12x² + 6x +145

Шаг 4. Умножьте знаменатель комплексной дроби на НОК, как если бы вы использовали числитель

Продолжайте умножать комплексную дробь на найденное НОК, переходя к знаменателю. Умножьте все, умножьте каждое число на НОК.

• Знаменатель нашей комплексной дроби (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))) равен x +4 + ((1) // (х-5)). Мы умножим его на найденное НОК (x + 3) (x-5).

  • (х +4 + ((1) / (x - 5))) × (x + 3) (x-5)
  • = x ((x + 3) (x-5)) + 4 ((x + 3) (x-5)) + (1 / (x-5)) (x + 3) (x-5).
  • = х (х² - 2х - 15) + 4 (х² - 2x - 15) + ((x + 3) (x-5)) / (x-5)
  • = х³ - 2x² - 15x + 4x² - 8х - 60 + (х + 3)
  • = х³ + 2x² - 23х - 60 + (х + 3)
  • = Икс³ + 2x² - 22x - 57

Шаг 5. Создайте новую упрощенную дробь из вновь найденных числителя и знаменателя

После умножения дроби на (КПК) / (КПК) и упрощения ее путем объединения чисел в результате получается простая дробь, не содержащая дробного числа. Обратите внимание, что при умножении дробного числа исходной комплексной дроби на НОК знаменатель этой дроби будет исчерпан, а число переменных и целое число в числителе и знаменателе ответа останется без каких-либо дробей.

Используя числитель и знаменатель, указанные выше, мы можем построить дробь, которая будет такой же, как исходная комплексная дробь, но не содержит дробного числа. Полученный числитель равен x³ - 12x² + 6x + 145 и знаменатель, который мы получили, был x³ + 2x² - 22x - 57, поэтому новая дробь становится (Икс³ - 12x² + 6x + 145) / (x³ + 2x² - 22x - 57)

подсказки

• Покажи каждый шаг работы. Дроби могут сбивать с толку, если шаги отсчитываются слишком быстро или вы пытаетесь сделать это наизусть.
• Найдите примеры сложных дробей в Интернете или в книгах. Выполняйте каждый шаг, пока не сможете освоить его.