До изобретения калькуляторов студентам и преподавателям приходилось вычислять квадратные корни вручную. Было разработано несколько различных способов преодоления этого трудного процесса. Некоторые способы дают приблизительную оценку, а другие дают точное значение. Чтобы узнать, как найти квадратный корень из числа с помощью простых операций, см. Шаг 1 ниже, чтобы начать работу.
Шаг
Метод 1 из 2: использование первичной факторизации
Шаг 1. Разделите ваше число на квадратные множители
Этот метод использует множители числа, чтобы найти квадратный корень из числа (в зависимости от числа ответ может быть точным числом или близким приближением). Множители числа представляют собой набор других чисел, которые при умножении дают это число. Например, вы могли бы сказать, что делители 8 равны 2 и 4, потому что 2 × 4 = 8. Между тем, полные квадраты - это целые числа, которые являются произведением других целых чисел. Например, 25, 36 и 49 - это полные квадраты, потому что они равны 5. Соответственно.2, 62, и 72. Как вы, возможно, догадались, множители точных квадратов - это множители, которые также являются точными квадратами. Чтобы найти квадратный корень с помощью разложения на простые множители, сначала попробуйте упростить ваше число до его точных квадратных множителей.
- Возьмем пример. Мы хотим найти квадратный корень из 400 вручную. Для начала разделим число на квадратные множители. Поскольку 400 делится на 100, мы знаем, что 400 делится на 25 - это полный квадрат. Быстро разделив тени, мы обнаруживаем, что 400, разделенное на 25, равняется 16. По совпадению, 16 также является точным квадратом. Таким образом, полные квадратные множители 400 равны 25 и 16 потому что 25 × 16 = 400.
- Мы можем записать это как: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
Шаг 2. Найдите квадратный корень из ваших точных квадратных множителей
Свойство умножения квадратного корня утверждает, что для любых чисел a и b Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Благодаря этому свойству теперь мы можем найти квадратный корень из наших идеальных квадратных множителей и умножить их, чтобы получить ответ.
-
В нашем примере мы найдем квадратные корни из 25 и 16. См. Ниже:
- Корень (25 × 16)
- Корень (25) × Корень (16)
-
5 × 4 =
Шаг 20.
Шаг 3. Если ваше число не может быть точно разложено на множители, упростите свой ответ до самой простой формы
В реальной жизни часто числа, которые вам нужно найти, не являются приятными целыми числами с очевидными точными квадратными множителями, такими как 400. В этих случаях возможно, что мы не сможем найти правильный ответ в виде целого числа. Однако, найдя как можно больше точных квадратных множителей, вы сможете найти ответ в виде квадратного корня, который меньше, проще и легче вычислить. Для этого сократите число до комбинации точных квадратных множителей и несовершенных квадратных множителей, а затем упростите.
-
В качестве примера возьмем квадратный корень из 147. 147 не является произведением двух полных квадратов, поэтому мы не можем получить точное целочисленное значение, как указано выше. Однако 147 - это произведение одного полного квадрата и другого числа - 49 и 3. Мы можем использовать эту информацию, чтобы записать наш ответ в простейшей форме следующим образом:
- Корень (147)
- = Корень (49 × 3)
- = Sqrt (49) × Sqrt (3)
- = 7 × Корень (3)
Шаг 4. При необходимости оцените
Используя квадратный корень в его простейшей форме, обычно довольно легко получить приблизительную оценку числового ответа, угадав значение оставшегося квадратного корня и умножив его. Один из способов сделать предположение - найти идеальные квадраты, которые больше или меньше числа в вашем квадратном корне. Вы заметите, что десятичное значение числа в вашем квадратном корне находится между двумя числами, поэтому вы можете угадать значение между двумя числами.
-
Вернемся к нашему примеру. потому что 22 = 4 и 12 = 1, мы знаем, что корень (3) находится между 1 и 2 - вероятно, ближе к 2, чем 1. Мы оцениваем 1, 7. 7 × 1, 7 = 11, 9. Если мы проверим наш ответ на калькуляторе, мы увидим, что наш ответ довольно близок к реальному ответу, который 12, 13.
Это также относится к большим числам. Например, корень (35) может быть приблизительно от 5 до 6 (возможно, ближе к 6). 52 = 25 и 62 = 36. 35 находится между 25 и 36, поэтому квадратный корень должен быть между 5 и 6. Поскольку 35 только на единицу меньше 36, мы можем с уверенностью сказать, что квадратный корень немного меньше 6. Проверка с помощью калькулятора даст дайте нам ответ примерно 5, 92 - мы правы.
Шаг 5. В качестве первого шага также сократите число до наименее распространенных множителей
В нахождении множителей полных квадратов нет необходимости, если вы можете легко определить простые множители числа (множители, которые также являются простыми числами). Запишите свой номер, используя наименее распространенные множители. Затем найдите пары простых чисел, соответствующие вашим множителям. Когда вы найдете два одинаковых простых множителя, удалите эти два числа из квадратного корня и поместите одно из этих чисел вне квадратного корня.
-
Например, с помощью этого метода найдите квадратный корень из 45. Мы знаем, что 45 × 5, и мы знаем, что при 9 = 3 × 3. Таким образом, мы можем записать наш квадратный корень в терминах таких множителей: Sqrt (3 × 3 × 5). Просто удалите обе тройки и поместите одну тройку вне квадратного корня, чтобы упростить квадратный корень до его простейшей формы: (3) Корень (5).
Отсюда нас будет легко оценить.
-
В качестве последнего примера проблемы давайте попробуем найти квадратный корень из 88:
- Корень (88)
- = Корень (2 × 44)
- = Корень (2 × 4 × 11)
- = Корень (2 × 2 × 2 × 11). В нашем квадратном корне около 2. Поскольку 2 - простое число, мы можем удалить пару двоек и положить одну из них вне квадратного корня.
-
= Наш квадратный корень в простейшей форме равен (2) Sqrt (2 × 11) или (2) Корень (2) Корень (11).
Отсюда мы можем оценить Sqrt (2) и Sqrt (11) и найти приблизительный ответ, какой захотим.
Метод 2 из 2: поиск квадратного корня вручную
Использование алгоритма длинного деления
Шаг 1. Разделите цифры своего номера на пары
В этом методе используется процесс, похожий на деление в столбик, для нахождения точной цифры квадратного корня по цифре. Хотя это не обязательно, вам может быть проще выполнить этот процесс, если вы визуально организуете свое рабочее место и свои числа в простые для работы части. Сначала нарисуйте вертикальную линию, разделяющую вашу рабочую область на две части, затем нарисуйте более короткую горизонтальную линию в правом верхнем углу, чтобы разделить правую часть на меньшую верхнюю часть и большую нижнюю часть. Затем разделите цифры на пары, начиная с десятичной точки. Например, следуя этому правилу, 79 520 789 182 47897 становится "7 95 20 78 91 82. 47 89 70". Напишите свой номер вверху слева.
Например, давайте попробуем вычислить квадратный корень из 780, 14. Нарисуйте две линии, чтобы разделить ваше рабочее место, как указано выше, и напишите «7 80. 14» в верхнем левом углу. Не имеет значения, является ли крайнее левое число одним числом, а не парой чисел. Вы напишите свой ответ (квадратный корень 780, 14) вверху справа
Шаг 2. Найдите наибольшее целое число, значение квадрата которого меньше или равно числу (или паре чисел) в крайнем левом углу
Начните с крайнего левого угла вашего числа, как числовых пар, так и отдельных чисел. Найдите наибольший полный квадрат, который меньше или равен этому числу, затем найдите квадратный корень из этого полного квадрата. Это число n. Напишите n в правом верхнем углу и напишите квадрат n в правом нижнем квадранте.
В нашем примере крайняя левая цифра - 7. Поскольку мы знаем, что 22 = 4 ≤ 7 < 32 = 9, мы можем сказать, что n = 2, потому что 2 - это наибольшее целое число, квадрат которого меньше или равен 7. Запишите 2 в верхнем правом квадранте. Это первая цифра нашего ответа. Напишите 4 (квадратное значение 2) в правом нижнем квадранте. Этот номер важен для следующего шага.
Шаг 3. Вычтите только что вычисленное число из самой левой пары
Как и в случае с делением в столбик, следующий шаг - вычесть значение квадрата, которое мы только что нашли, из части, которую мы только что проанализировали. Напишите это число под первой частью и вычтите его, написав свой ответ под ним.
-
В нашем примере мы напишем 4 под 7, а затем вычтем его. Это вычитание дает ответ
Шаг 3..
Шаг 4. Отбросьте следующую пару
Переместитесь вниз к следующей части числа, для которого вы ищете квадратный корень, рядом с только что найденным значением вычитания. Затем умножьте число в правом верхнем квадранте на два и запишите ответ в правом нижнем квадранте. Рядом с только что записанным числом оставьте место для задачи умножения, которую вы решите на следующем шаге, написав '"_ × _ ="'.
В нашем примере следующая пара наших чисел - «80». Напишите «80» рядом с 3 в левом квадранте. Затем умножьте число в правом верхнем углу на два. Это число 2, поэтому 2 × 2 = 4. Напишите «4» в нижнем правом квадранте, а затем _×_=.
Шаг 5. Заполните пропуски в правом квадранте
Вы должны заполнить все пустые поля, которые вы только что написали в правом квадранте, одним и тем же целым числом. Это целое число должно быть наибольшим целым числом, из-за которого произведение в правом квадранте меньше или равно числу, находящемуся в данный момент слева.
В нашем примере мы заполняем пробелы цифрой 8, в результате получаем 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Это значение больше 384. Таким образом, 8 слишком велико, но 7 может работать. Запишите 7 в пропуски и решите: 4 (7) × 7 = 329. 7 - правильное число, потому что 329 меньше 380. Запишите 7 в верхнем правом квадранте. Это вторая цифра квадратного корня из 780, 14
Шаг 6. Вычтите только что вычисленное число из числа слева
Продолжите цепочку вычитания, используя метод длинного деления. Возьмите произведение задачи в правом квадранте и вычтите его из числа, которое сейчас находится слева, при этом записывая свои ответы ниже.
В нашем примере мы вычтем 329 из 380, что даст результат 51.
Шаг 7. Повторите шаг 4
Выведите следующую часть числа, для которого вы ищете квадратный корень. Когда вы дойдете до десятичной точки в своем числе, запишите ее в своем ответе в правом верхнем квадранте. Затем умножьте число в правом верхнем углу на 2 и запишите его рядом с пустой задачей умножения («_ × _»), как указано выше.
В нашем примере, поскольку теперь мы имеем дело с десятичной точкой в 780, 14, запишите десятичную точку после нашего текущего ответа в правом верхнем углу. Затем опустите следующую пару (14) в левом квадранте. Удвоенное число в правом верхнем углу (27) равно 54, поэтому напишите «54 _ × _ =» в правом нижнем квадранте
Шаг 8. Повторите шаги 5 и 6
Найдите самую большую цифру, чтобы заполнить пробелы справа, что дает ответ, меньший или равный числу, находящемуся в данный момент слева. Затем решите проблему.
В нашем примере 549 × 9 = 4941, что меньше или равно числу слева (5114). 549 × 10 = 5490 слишком велико, поэтому 9 - ваш ответ. Запишите 9 как следующую цифру в правом верхнем квадранте и вычтите произведение из числа слева: 5114 минус 4941 равно 173
Шаг 9. Чтобы продолжить подсчет цифр, опустите пару нулей слева и повторите шаги 4, 5 и 6
Для большей точности продолжайте этот процесс, чтобы найти сотни, тысячи и другие места в своем ответе. Продолжайте использовать этот цикл, пока не найдете нужное десятичное место.
Понимание процесса
Шаг 1. Представьте, что число, полученное вами как квадратный корень, представляет собой площадь S квадрата
Поскольку площадь квадрата равна P2 где P - длина одной из сторон, то, пытаясь найти квадратный корень из вашего числа, вы фактически пытаетесь вычислить длину P этой стороны квадрата.
Шаг 2. Определите буквенные переменные для каждой цифры вашего ответа
Установите переменную A как первую цифру P (квадратный корень, который мы пытаемся вычислить). B будет второй цифрой, C - третьей цифрой и так далее.
Шаг 3. Определите буквенные переменные для каждой части вашего начального числа
Установить переменную Sа для первой пары цифр в S (ваше начальное значение), Sб для второй пары цифр и т. д.
Шаг 4. Разберитесь в взаимосвязи между этим методом и делением в столбик
Этот метод нахождения квадратного корня - это, по сути, задача деления в длину, когда исходное число делится на квадратный корень, что дает вам квадратный корень из ответа. Как и в задаче о долгом делении, вас интересует только следующая цифра на каждом шаге. Таким образом, вас будут интересовать только следующие две цифры на каждом шаге (которые являются следующей цифрой на каждом шаге для квадратного корня).
Шаг 5. Найдите наибольшее число, значение квадрата которого меньше или равно S.а.
Первая цифра A в нашем ответе - это наибольшее целое число, квадратное значение которого не превышает Sа (т.е. A так, чтобы A² Sa <(A + 1) ²). В нашем примере Sа = 7 и 2² 7 <3², поэтому A = 2.
Обратите внимание, что, например, если вы хотите разделить 88962 на 7, используя длинное деление, первые шаги в значительной степени такие же: вы увидите первую цифру 88962 (которая равна 8), и вы ищете наибольшую цифру. которое при умножении на 7 меньше или равно 8 В принципе, вы ищете d так, чтобы 7 × d 8 <7 × (d + 1). В этом случае d будет равно 1
Шаг 6. Представьте себе значение квадрата, над площадью которого вы собираетесь начать работу
Ваш ответ, квадратный корень из вашего начального числа, равен P, который описывает длину квадрата с площадью S (ваше начальное число). Ваши оценки за A, B, C представляют собой цифры в значении P. Другими словами, это 10A + B = P (для двузначного ответа), 100A + 10B + C = P (для трехзначного ответа). цифра ответа) и т. д.
В нашем примере (10A + B) ² = P2 = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Помните, что 10A + B представляет наш ответ P, где B стоит в позиции единиц, а A - в позиции десятков. Например, если A = 1 и B = 2, тогда 10A + B равно 12. (10A + B) ² - общая площадь квадрата, а 100A² это площадь самого большого квадрата в нем, B² это площадь самого маленького квадрата в нем, а 10А × В - это площадь двух оставшихся прямоугольников. Выполняя этот долгий и запутанный процесс, мы находим общую площадь квадрата, складывая площади квадратов и прямоугольников внутри.
Шаг 7. Вычтите A² из Sа.
Уменьшить одну пару цифр (Sб) of S. Значение Sа Sб близко к общей площади квадрата, которую вы только что использовали для вычитания большего внутреннего квадрата. Остаток можно представить как число N1, которое мы получили на шаге 4 (в нашем примере N1 = 380). N1 равно 2 & разам: 10A × B + B² (площадь двух прямоугольников плюс площадь меньшего квадрата).
Шаг 8. Найдите N1 = 2 × 10A × B + B², что также записывается как N1 = (2 × 10A + B) × B
В нашем примере вы уже знаете N1 (380) и A (2), поэтому вам нужно найти B. B, скорее всего, не целое число, поэтому вам действительно нужно найти наибольшее целое число B такое, что (2 × 10A + Б) × Б N1. Итак, у вас есть: N1 <(2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
Шаг 9. Готово
Чтобы решить это уравнение, умножьте A на 2, переместите результат в позицию десятков (эквивалент умножения на 10), поместите B в позицию единиц и умножьте число на B. Другими словами, решите (2 × 10A + B) × B. Это именно то, что вы делаете, когда пишете «N_ × _ =» (с N = 2 × A) в правом нижнем квадранте на шаге 4. На шаге 5 вы находите наибольшее целое число B, которое соответствует число под ним так, чтобы (2 × 10A + B) × B N1.
Шаг 10. Вычтите площадь (2 × 10A + B) × B из общей площади
Это вычитание приводит к площади S- (10A + B) ², которая не была вычислена (и которая будет использоваться для вычисления следующей цифры таким же образом).
Шаг 11. Чтобы вычислить следующую цифру, C, повторите процесс
Опускаем следующую пару (Sc) S, чтобы получить N2 слева, и найти наибольшее C, чтобы у вас было (2 × 10 × (10A + B) + C) × C N2 (эквивалентно написанию дважды двузначного числа "AB", за которым следует «_ × _ =». Найдите наибольшую совпадающую цифру в пробелах, которая дает ответ, меньший или равный N2, как и раньше.
подсказки
- Перемещение десятичной точки на число, кратное двум цифрам в числе (кратное 100), означает перемещение десятичной точки на кратное одной цифре в его квадратном корне (кратное 10).
- В этом примере 1,73 можно рассматривать как «остаток»: 780, 14 = 27, 9² + 1,73.
- Этот метод можно использовать для любой базы, а не только для десятичной (десятичной).
- Вы можете использовать исчисление, которое вам удобнее. Некоторые пишут результат над начальным числом.
- Альтернативный способ использования повторяющихся дробей - следовать этой формуле: z = (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x +…))). Например, чтобы вычислить квадратный корень из 780, 14, целое число, квадрат которого ближе всего к 780, 14 равно 28, поэтому z = 780, 14, x = 28 и y = -3, 86. Ввод значений и вычисляя оценки только для x + y / (2x), получаем (в простейших терминах) 78207/20800 или около 27 931 (1); следующий член, 4374188/156607 или приблизительно 27, 930986 (5). Каждый член добавляет примерно 3 десятичных разряда к точности предыдущего числа десятичных знаков.
