3 способа упростить квадратный корень

2024 Автор: Jason Gerald | [email protected]. Последнее изменение: 2023-12-16 11:35

Упростить квадратный корень не так сложно, как кажется. Чтобы упростить квадратный корень, вам просто нужно разложить число на множители и извлечь квадратный корень из любого точного квадрата, которое меньше квадратного корня. Если вы помните часто используемые точные квадраты и знаете, как множить числа на множители, вы сможете довольно хорошо упростить квадратные корни.

Шаг

Метод 1 из 3: упрощение квадратного корня путем разложения на множители

Шаг 1. Узнайте о факторах

Цель упрощения квадратных корней - записать их в форме, удобной для понимания и использования в математических задачах. Путем факторинга большое число разбивается на два или более меньших «факторных» числа, например, изменение 9 на 3 x 3. Как только мы найдем этот коэффициент, мы можем переписать квадратный корень в более простой форме, иногда даже меняя его на обычное целое число. Например, 9 = (3x3) = 3. Выполните следующие действия, чтобы узнать об этом процессе в более сложных квадратных корнях.

Шаг 2. Разделите число на наименьшее возможное простое число

Если число под квадратным корнем является четным числом, разделите его на 2. Если ваше число нечетное, попробуйте разделить на 5. Если ни одно из этих делений не дает вам целого числа, попробуйте следующее число в списке ниже, разделив на каждое. number. prime, чтобы в результате получить целое число. Вам нужно только проверить простые числа, потому что все остальные числа имеют простые числа в качестве множителей. Например, вам не нужно тестировать с числом 4, потому что все числа, которые делятся на 4, также делятся на 2, что вы пробовали раньше.

Шаг 3. Перепишите квадратный корень как задачу умножения

Продолжайте записывать это умножение под квадратным корнем и не забудьте включить оба множителя. Например, если вы пытаетесь упростить 98, выполните описанные выше шаги, чтобы найти, что 98 2 = 49, поэтому 98 = 2 x 49. Перепишите число «98» в его исходный квадратный корень, используя эту информацию: 98 = (2 x 49).

Шаг 4. Повторите то же самое с одним из оставшихся чисел

Прежде чем мы сможем упростить квадратный корень, нам нужно продолжать его факторизовать, пока он не станет двумя точно равными числами. Это имеет смысл, если вы помните, что означает квадратный корень: число (2 x 2) означает «число, которое вы можете умножить само на себя, равно 2 x 2». Конечно, ответ - 2! Имея это в виду, давайте повторим шаги, описанные выше, чтобы решить нашу примерную проблему (2 x 49):

2 был разложен на минимально возможный размер. (Другими словами, это число - одно из простых чисел, перечисленных выше). Мы пока проигнорируем это число и сначала попробуем разделить на 49.
49 нельзя полностью разделить на 2, 3 или 5. Вы можете проверить это самостоятельно, используя калькулятор или используя длинное деление. Поскольку это деление не дает целого числа, мы проигнорируем его и попробуем следующее число.
49 полностью делится на 7. 49 7 = 7, поэтому 49 = 7 x 7.
Перепишите задачу выше: (2 x 49) = (2 x 7 x 7).

Шаг 5. Решите, «извлекая» целое число

Разложив задачу на два абсолютно равных множителя, вы можете преобразовать ее в обычное целое число вне квадратного корня. Оставьте остальные множители в квадратном корне. Например, (2 x 7 x 7) = (2) √ (7 x 7) = (2) x 7 = 7√ (2).

Даже если вы сможете сделать дополнительные факторы, вам не придется делать это снова, как только вы найдете два фактора, которые точно совпадают. Например, (16) = (4 x 4) = 4. Если мы продолжим разложение на множители, мы получим тот же ответ, но более длинным путем: (16) = (4 x 4) = (2 x 2 x 2 x 2) Знак равно (2 х 2) √ (2 х 2) = 2 х 2 = 4

Шаг 6. Умножьте все целые числа, если их больше одного

Для некоторых чисел с большим квадратным корнем вы можете упростить несколько раз. В этом случае умножьте полученное целое число, чтобы получить окончательный ответ. Вот пример:

180 = (2 х 90)
180 = (2 х 2 х 45)
180 = 2√45, но это значение можно упростить.
180 = 2√ (3 х 15)
180 = 2√ (3 х 3 х 5)
√180 = (2)(3√5)
√180 = 6√5

Шаг 7. Запишите «нельзя упростить», если нет двух равных факторов

Некоторые числа с квадратным корнем уже представлены в простейшей форме. Если вы продолжите разложение на множители до тех пор, пока все они не станут простыми числами (как указано в шаге выше), и ни одна из пар не будет одинаковой, то вы ничего не сможете сделать. Вам может быть задан вопрос-ловушка! Например, попробуйте упростить 70:

70 = 35 x 2, поэтому 70 = (35 x 2)
35 = 7 x 5, поэтому (35 x 2) = (7 x 5 x 2)
Все три числа здесь простые, поэтому их нельзя разложить на множители. Эти три числа разные, поэтому получить целое число невозможно. 70 нельзя упростить.

Метод 2 из 3: распознавание идеальных квадратов

Шаг 1. Запомните несколько идеальных квадратов

Возведение числа в квадрат или умножение на само число дает идеальный квадрат. Например, 25 - это полный квадрат, потому что 5 x 5 или 5², равно 25. Запомните хотя бы первые десять полных квадратов, которые помогут вам определить и упростить полные квадратные корни. Вот первые десять полных квадратных чисел:

1² = 1
2² = 4
3² = 9
4² = 16
5² = 25
6² = 36
7² = 49
8² = 64
9² = 81
10² = 100

Шаг 2. Найдите квадратный корень из идеального квадрата

Если вы узнаете идеальный квадрат под квадратным корнем, вы можете немедленно преобразовать его в квадратный корень и удалить его со знака (√). Например, если вы видите число 25 под квадратным корнем, вы уже знаете, что ответ - 5, потому что 25 - это полный квадрат. Список тот же, что и выше, начиная от квадратного корня до ответа:

√1 = 1
√4 = 2
√9 = 3
√16 = 4
√25 = 5
√36 = 6
√49 = 7
√64 = 8
√81 = 9
√100 = 10

Шаг 3. Разложите число на квадрат

Воспользуйтесь преимуществом точных квадратов, продолжая использовать факторный метод упрощения квадратных корней. Если вы знаете факторы идеального квадрата, вам будет проще и быстрее решать задачи. Вот несколько советов, которые вы можете использовать:

50 = (25 х 2) = 5√2. Если две последние цифры номера оканчиваются на 25, 50 или 75, вы всегда можете множить 25 из этого числа.
1700 = (100 х 17) = 10√17. Если последние два числа заканчиваются на 00, вы всегда можете множить это число на 100.
72 = (9 х 8) = 3√8. Познакомьтесь с умножением девяти, чтобы вам было легче. Вот совет, как их распознать: если «все» числа в номере дают в сумме девять, то девять - фактор.
12 = (4 х 3) = 2√3. Здесь нет конкретных советов, но обычно легко проверить, делится ли небольшое число на 4. Имейте это в виду при поиске других факторов.

Шаг 4. Разложите число на множители более чем одного полного квадрата

Если множители числа имеют более одного полного квадрата, выньте их все из квадратного корня. Если вы получили несколько точных квадратов в процессе упрощения квадратного корня, переместите все квадратные корни за пределы знака и умножьте их все вместе. Например, попробуйте упростить 72:

72 = (9 х 8)
72 = (9 х 4 х 2)
72 = (9) х (4) х (2)
72 = 3 х 2 х 2
√72 = 6√2

Метод 3 из 3: понимание терминов

Шаг 1. Знайте, что знак квадратного корня (√) - это знак квадратного корня

Например, в задаче 25 «√» является корневым знаком.

Шаг 2. Знайте, что подкоренное выражение - это число внутри корневого знака

Это число, из которого нужно вычислить квадратный корень. Например, в задаче о 25 «25» - это квадратный корень.

Шаг 3. Знайте, что коэффициент - это число вне квадратного корня

Это число является квадратным корнем из множителя; это число находится слева от корневого знака. Например, в задаче 7√2 «7» - это значение коэффициента.

Шаг 4. Знайте, что множитель - это число, которое полностью делится на число

Например, 2 является фактором 8, потому что 8 4 = 2, но 3 не является фактором 8, потому что 8 ÷ 3 не дает целого числа. Как и в других примерах, 5 - это коэффициент 25, потому что 5 x 5 = 25.

Шаг 5. Разберитесь в значении упрощения квадратного корня

Упрощение квадратного корня означает просто разложение на множители полного квадратного корня, удаление его слева от знака радикала и оставление оставшихся множителей под знаком радикала. Если число является точным квадратом, квадратный корень исчезнет, когда вы его запишете. Например, 98 можно упростить до 7√2.

подсказки

Один из способов найти идеальный квадрат, который можно разложить на число, - это посмотреть на список идеальных квадратов, начиная с меньшего, чем ваш квадратный корень, или с числа, меньшего квадратного корня. Например, при поиске идеального квадрата, не превышающего 27, начните с 25 и постепенно уменьшите его до 16 и «остановитесь на 9», когда вы найдете идеальный квадрат, который делит 27

Предупреждение

Упрощение - это не то же самое, что вычисление стоимости. Ни один из этапов этого процесса не требует от вас получения числа с десятичной дробью.
Калькуляторы могут быть полезны для больших чисел, но чем больше вы будете практиковаться самостоятельно, тем легче будет упростить извлечение квадратного корня.