Основная часть изучения алгебры - это научиться находить обратную функцию функции, или f (x). Обратная функция представлена как f ^ -1 (x), а обратная функция обычно представлена визуально как начальная функция, отраженная линией y = x. Эта статья покажет вам, как найти обратную функцию.
Шаг
Шаг 1. Убедитесь, что ваша функция является однозначной (инъективной) функцией
Только взаимно однозначные функции имеют инверсию.
-
Функция является взаимно однозначной, если она проходит тест вертикальной линии и тест горизонтальной линии. Проведите вертикальную линию через весь график функции и посчитайте, сколько раз она попадает в функцию. Затем проведите горизонтальную линию через весь график функции и подсчитайте количество вхождений этой линии в функцию. Если каждая строка попадает в функцию только один раз, то функция является взаимно однозначной.
Если график не прошел проверку вертикальной линии, это не функция
-
Чтобы алгебраически определить, является ли функция взаимно однозначной, вставьте f (a) и f (b) в свою функцию, чтобы увидеть, если a = b. Например, возьмем f (x) = 3x + 5.
- f (a) = 3a + 5; f (b) = 3b + 5
- 3a + 5 = 3b + 5
- 3a = 3b
- а = б
- Таким образом, f (x) взаимно однозначная функция.
Шаг 2. Поскольку это функция, измените x и y
Помните, что f (x) заменяет y.
- В функции «f (x)» или «y» представляют выход, а «x» - вход. Чтобы найти обратную функцию, вы меняете местами ввод и вывод.
- Пример: Давайте использовать f (x) = (4x + 3) / (2x + 5) - что является взаимно однозначной функцией. Меняя местами x и y, мы получаем x = (4y + 3) / (2y + 5).
Шаг 3. Найдите новую букву «y»
Вы должны изменить выражение, чтобы найти y, или найти новые операции, которые будут выполняться на входе, чтобы получить обратное в качестве вывода.
- Это может быть сложно, в зависимости от вашего выражения. Возможно, вам придется использовать алгебраические приемы, такие как перекрестное умножение или разложение на множители, чтобы оценивать выражения и упрощать их.
-
В нашем примере мы выполним следующие шаги, чтобы изолировать y:
- Начнем с x = (4y + 3) / (2y + 5)
- x (2y + 5) = 4y + 3 - Умножаем обе части на (2y + 5)
- 2xy + 5x = 4y + 3 - распределить x
- 2xy - 4y = 3 - 5x - Переместите все члены y в одну сторону
- y (2x - 4) = 3 - 5x - Распределить в обратном порядке, чтобы объединить члены y
- y = (3 - 5x) / (2x - 4) - Разделите, чтобы получить ответ
Шаг 4. Замените новую букву «y» на f ^ -1 (x)
Это уравнение, обратное вашей исходной функции.
