Рациональное уравнение - это дробь с одной или несколькими переменными в числителе или знаменателе. Рациональное уравнение - это любая дробь, которая включает хотя бы одно рациональное уравнение. Как и обычные алгебраические уравнения, рациональные уравнения решаются путем выполнения одной и той же операции с обеими сторонами уравнения до тех пор, пока переменные не могут быть перенесены в любую из сторон уравнения. Два специальных метода, перекрестное умножение и поиск наименьшего общего знаменателя, являются очень полезными способами перемещения переменных и решения рациональных уравнений.
Шаг
Метод 1 из 2: перекрестное умножение
Шаг 1. При необходимости измените уравнение, чтобы получить дробь на одной стороне уравнения
Перекрестное умножение - это быстрый и простой способ решить рациональные уравнения. К сожалению, этот метод можно использовать только для рациональных уравнений, которые содержат по крайней мере одно рациональное уравнение или дробь на каждой стороне уравнения. Если ваше уравнение не соответствует этим требованиям к кросс-произведению, вам, возможно, придется использовать алгебраические операции, чтобы переместить части в нужные места.
-
Например, уравнение (x + 3) / 4 - x / (- 2) = 0 можно легко представить в виде перекрестного произведения, добавив x / (- 2) к обеим сторонам уравнения, так что оно станет (x + 3) / 4 = х / (- 2).
Обратите внимание, что десятичные и целые числа можно преобразовать в дроби, задав знаменатель 1. (x + 3) / 4-2, 5 = 5, например, можно переписать как (x + 3) / 4 = 7, 5 / 1, что делает его удовлетворяющим условию перекрестного умножения
- Некоторые рациональные уравнения не могут быть легко приведены к форме, в которой с каждой стороны по одной дроби или рациональному уравнению. В таких случаях используйте тот же подход наименьшего знаменателя.
Шаг 2. Перекрестное умножение
Перекрестное умножение означает умножение одного из числителей дроби на знаменатель другой дроби и наоборот. Умножьте числитель дроби слева на знаменатель дроби справа. Повторите то же самое с правым знаменателем с левым знаменателем.
Перекрестное умножение работает в соответствии с основными алгебраическими принципами. Рациональные уравнения и другие дроби можно превратить в дроби, умножив их на знаменатель. Перекрестное произведение - это, по сути, быстрый способ умножить обе части уравнения на оба знаменателя. Не верю? Попробуйте - вы получите тот же результат, упростив его
Шаг 3. Сделайте два продукта равными друг другу
После перекрестного умножения вы получите два результата умножения. Сделайте их равными друг другу и упростите, чтобы уравнение было как можно более простым.
Например, если ваше исходное рациональное уравнение было (x + 3) / 4 = x / (- 2), после перекрестного умножения ваше новое уравнение станет -2 (x + 3) = 4x. Если хотите, можете также записать это как -2x - 6 = 4x
Шаг 4. Найдите значение вашей переменной
Используйте алгебраические операции, чтобы найти значение переменной вашего уравнения. Помните, что если x появляется на обеих сторонах уравнения, вы должны добавить или вычесть x из обеих сторон уравнения, чтобы оставить x только на одной стороне уравнения.
В нашем примере мы можем разделить обе части уравнения на -2, поэтому x + 3 = -2x. Вычитание x с обеих сторон дает 3 = -3x. Наконец, разделив обе части на -3, результат станет -1 = x, что можно записать как x = -1. Мы нашли значение x, решив наше рациональное уравнение
Метод 2 из 2: поиск наименьшего общего знаменателя
Шаг 1. Знать точное время, чтобы использовать тот же самый маленький знаменатель
Тот же самый маленький знаменатель можно использовать для упрощения рациональных уравнений, делая их доступными для поиска значений переменных. Поиск наименьшего общего знаменателя - хорошая идея, если ваше рациональное уравнение не может быть легко записано в терминах одной дроби (и только одной дроби) с каждой стороны уравнения. Для решения рациональных уравнений с тремя или более частями полезен наименьший общий знаменатель. Однако, чтобы решить рациональное уравнение, состоящее только из двух частей, быстрее использовать кросс-произведение.
Шаг 2. Проверьте знаменатель каждой дроби
Определите наименьшее число, которое каждый знаменатель может разделить, и получите целое число. Это число является наименьшим общим знаменателем вашего уравнения.
- Иногда отчетливо виден наименьший общий знаменатель, то есть наименьшее число, в знаменателе которого есть все множители. Например, если ваше уравнение: x / 3 + 1/2 = (3x + 1) / 6, нетрудно увидеть наименьшее число, имеющее множители 3, 2 и 6, то есть число 6.
- Однако часто наименее общий знаменатель рационального уравнения четко не виден. В таком случае попробуйте проверить кратные большего знаменателя, пока не найдете число, которое имеет множитель всех других меньших знаменателей. Часто наименьший общий знаменатель является произведением двух знаменателей. Например, в уравнении x / 8 + 2/6 = (x-3) / 9 наименьший общий знаменатель равен 8 * 9 = 72.
- Если в одном или нескольких знаменателях вашей дроби есть переменные, этот процесс будет более трудным, но выполнимым. В таком случае наименьший общий знаменатель - это уравнение (с переменной), которое делится на все остальные знаменатели. Например, в уравнении 5 / (x-1) = 1 / x + 2 / (3x) наименьший общий знаменатель равен 3x (x-1), потому что любой знаменатель может его разделить - деление на (x-1) дает 3x, деление на 3x дает (x-1), а деление на x дает 3 (x-1).
Шаг 3. Умножьте каждую дробь в рациональном уравнении на 1
Умножение каждой части на 1 кажется бесполезным. Но вот в чем хитрость. 1 можно определить как любое число, которое одинаково как в числителе, так и в знаменателе, например, -2/2 и 3/3, что является правильным способом записи 1. Этот метод использует альтернативное определение. Умножьте каждую дробь в вашем рациональном уравнении на 1, записав число 1, которое при умножении на знаменатель дает наименьший общий знаменатель.
- В нашем базовом примере мы умножим x / 3 на 2/2, чтобы получить 2x / 6, и умножим 1/2 на 3/3, чтобы получить 3/6. 2x + 1/6 уже имеет тот же самый маленький знаменатель, который равен 6, поэтому мы можем умножить его на 1/1 или оставить его в покое.
- В нашем примере с переменной в знаменателе дроби процесс немного сложнее. Поскольку наш наименьший знаменатель равен 3x (x-1), мы умножаем каждое рациональное уравнение на то, что возвращает 3x (x-1). Мы умножим 5 / (x-1) на (3x) / (3x), что даст 5 (3x) / (3x) (x-1), умножим 1 / x на 3 (x-1) / 3 (x- 1), что дает 3 (x-1) / 3x (x-1), а умножение 2 / (3x) на (x-1) / (x-1) дает 2 (x-1) / 3x (x- 1).
Шаг 4. Упростите и найдите значение x
Теперь, поскольку каждая часть вашего рационального уравнения имеет один и тот же знаменатель, вы можете удалить знаменатель из своего уравнения и найти числитель. Умножьте обе части уравнения, чтобы получить значение числителя. Затем используйте алгебраические операции, чтобы найти значение x (или любой другой переменной, которую вы хотите решить) на одной стороне уравнения.
- В нашем базовом примере после умножения всех частей на альтернативную форму 1 мы получаем 2x / 6 + 3/6 = (3x + 1) / 6. Можно сложить две дроби, если у них одинаковый знаменатель, поэтому мы можем упростить это уравнение до (2x + 3) / 6 = (3x + 1) / 6, не меняя значения. Умножьте обе части на 6, чтобы удалить знаменатель, и получится 2x + 3 = 3x + 1. Вычтите 1 с обеих сторон, чтобы получить 2x + 2 = 3x, и вычтите 2x с обеих сторон, чтобы получить 2 = x, что можно записать как x = 2.
- В нашем примере с переменной в знаменателе, наше уравнение после умножения на 1 становится 5 (3x) / (3x) (x-1) = 3 (x-1) / 3x (x-1) + 2 (x-1) / 3х (х-1). Умножение всех частей на один и тот же наименьший знаменатель, позволяющее опустить знаменатель, дает 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). Это также относится к 5x = 3x - 3 + 2x -2, что упрощается до 15x = x - 5. Вычитание x с обеих сторон дает 14x = -5, что, в конце концов, упрощается до x = -5/14.
подсказки
- Когда вы решили переменную, проверьте свой ответ, подставив значение переменной в исходное уравнение. Если значение вашей переменной верное, вы можете упростить исходное уравнение до простого оператора, который всегда равен 1 = 1.
- Обратите внимание, что вы можете записать любой многочлен в виде рационального уравнения; поставьте его над знаменателем 1. Таким образом, x + 3 и (x + 3) / 1 имеют одинаковое значение, но второе уравнение можно классифицировать как рациональное уравнение, поскольку оно записано в виде дроби.
