В производном исчислении точка перегиба - это точка на кривой, в которой кривая меняет знак (с положительного на отрицательный или с отрицательного на положительный). Он используется в различных предметах, включая инженерию, экономику и статистику, для определения фундаментальных изменений в данных. Если вам нужно найти точку перегиба кривой, переходите к шагу 1.
Шаг
Метод 1 из 3: понимание точек перегиба
Шаг 1. Понять функцию вогнутости
Чтобы понять точку перегиба, нужно различать вогнутые и выпуклые функции. Вогнутая функция - это функция, в которой линия, соединяющая две точки на графике, никогда не находится над графиком.
Шаг 2. Понять выпуклую функцию
Выпуклая функция в основном противоположна выпуклой функции: то есть функция, в которой линия, соединяющая две точки на графике, никогда не находится ниже графика.
Шаг 3. Изучите основы функции
В основе функции лежит точка, в которой функция равна нулю.
Если вы собираетесь построить график функции, основания - это точки, в которых функция пересекает ось абсцисс
Метод 2 из 3: поиск производной функции
Шаг 1. Найдите первую производную вашей функции
Прежде чем вы сможете найти точку перегиба, вы должны найти производную своей функции. Производную основной функции можно найти в любой книге по математике; Вам необходимо изучить их, прежде чем вы сможете перейти к более сложной работе. Первая производная записывается как f '(x). Для полиномиального выражения вида axp + bx (p − 1) + cx + d первая производная равна apx (p − 1) + b (p 1) x (p − 2) + c.
-
Для иллюстрации предположим, что вам нужно найти точку перегиба функции f (x) = x3 + 2x − 1. Вычислите первую производную функции следующим образом:
f (x) = (x3 + 2x 1) ′ = (x3) ′ + (2x) ′ (1) ′ = 3x2 + 2 + 0 = 3x2 + 2
Шаг 2. Найдите вторую производную вашей функции
Вторая производная - это первая производная первой производной функции, записываемой как f (x).
-
В приведенном выше примере вычисление второй производной функции будет таким:
f (x) = (3x2 + 2) ′ = 2 × 3 × x + 0 = 6x
Шаг 3. Приравнять вторую производную к нулю
Установите вторую производную равной нулю и решите уравнение. Ваш ответ - возможный переломный момент.
-
В приведенном выше примере ваш расчет будет выглядеть так:
f (x) = 0
6x = 0
х = 0
Шаг 4. Найдите третью производную вашей функции
Чтобы увидеть, действительно ли ваш ответ является точкой перегиба, найдите третью производную, которая является первой производной второй производной функции, записанной как f (x).
-
В приведенном выше примере ваш расчет будет выглядеть так:
f (x) = (6x) ′ = 6
Метод 3 из 3: поиск точек перегиба
Шаг 1. Проверьте вашу третью производную
Стандартное правило проверки возможных точек перегиба выглядит следующим образом: «Если третья производная не равна нулю, f (x) = / 0, возможная точка перегиба на самом деле является точкой перегиба». Проверьте свою третью производную. Если оно не равно нулю, то это значение является истинной точкой перегиба.
В приведенном выше примере ваша третья производная равна 6, а не 0. Таким образом, 6 - истинная точка перегиба
Шаг 2. Найдите точку перегиба
Координаты точки перегиба записываются как (x, f (x)), где x - значение переменной точки в точке перегиба, а f (x) - значение функции в точке перегиба.
-
В приведенном выше примере помните, что когда вы вычисляете вторую производную, вы обнаруживаете, что x = 0. Таким образом, вы должны найти f (0), чтобы определить свои координаты. Ваш расчет будет выглядеть так:
f (0) = 03 + 2 × 0−1 = 1.
Шаг 3. Запишите свои координаты
Координаты вашей точки перегиба - это ваше значение x и значение, которое вы рассчитали выше.
