Вектор - это физическая величина, которая имеет как величину, так и направление (например, скорость, ускорение и смещение), в отличие от скаляра, который состоит только из величины (например, скорости, расстояния или энергии). Если скаляры могут быть добавлены путем сложения величин (например, работа 5 кДж плюс работа 6 кДж равняется работе 11 кДж), векторы немного сложно складывать или вычитать. См. Шаг 1 ниже, чтобы узнать о некоторых способах сложения или вычитания векторов.
Шаг
Метод 1 из 3: сложение и вычитание векторов, компоненты которых известны
Шаг 1. Запишите размерные компоненты вектора в векторной записи
Поскольку векторы имеют величину и направление, их обычно можно разбить на части в зависимости от размеров x, y и / или z. Эти размеры обычно записываются в аналогичных обозначениях для описания точки в системе координат (например, и других). Если вы знаете эту часть, сложение или вычитание векторов очень просто, просто добавьте или вычтите их координаты x, y и z.
- Обратите внимание, если размеры вектора равны 1, 2 или 3. Таким образом, вектор может иметь компоненты x, x и y или x, y и z. В нашем следующем примере используется 3-мерный вектор, но процесс похож на 1- или 2-мерный вектор.
- Предположим, у нас есть два трехмерных вектора, вектор A и вектор B. Мы можем записать эти векторы, используя векторные обозначения, такие как A = и B =, где a1 и a2 - компоненты x, b1 и b2 - компоненты y, а c1 и c2 компоненты z.
Шаг 2. Чтобы сложить два вектора, сложите их компоненты
Если известны два компонента вектора, вы можете сложить векторы, добавив компоненты каждого из них. Другими словами, добавьте x-компонент первого вектора к x-компоненту второго вектора и сделайте то же самое для y и z. Ответ, который вы получите, сложив компоненты x, y и z этих векторов, - это компоненты x, y и z вашего нового вектора.
- В общем, А + В =.
- Сложим два вектора A и B. A = и B =. A + B =, или.
Шаг 3. Чтобы вычесть оба вектора, вычтите их компоненты
Как мы обсудим позже, вычитание одного вектора из другого можно рассматривать как добавление его обратных векторов. Если компоненты обоих векторов известны, можно вычесть один вектор из другого, вычтя первый компонент из второго (или добавив отрицательные компоненты обоих).
- В общем, А-Б =
- Вычтем два вектора A и B. A = и B =. A - B =, или.
Метод 2 из 3: сложение и вычитание изображений с использованием метода головы и хвоста
Шаг 1. Обозначьте вектор, нарисовав его с помощью головы и хвоста
Поскольку векторы имеют и величину, и направление, мы можем сказать, что у них есть хвост и голова. Другими словами, вектор имеет начальную и конечную точки, которые указывают направление вектора, расстояние от которого до начальной точки равно величине вектора. Нарисованный вектор принимает форму стрелки. Кончик стрелки - это голова вектора, а конец векторной линии - это хвост.
Если вы создаете векторный рисунок с размерами, вам необходимо точно измерить и нарисовать все углы. Неправильный угол изображения повлияет на результирующий результат, когда два вектора складываются или вычитаются с использованием этого метода
Шаг 2. Чтобы добавить, нарисовать или переместить второй вектор так, чтобы хвост совпадал с головой первого вектора
Это называется объединением векторов головы и хвоста. Если вы просто складываете два вектора, вот что вам нужно сделать, прежде чем найти результирующий вектор.
Обратите внимание, что порядок, в котором вы добавляете векторы, не имеет значения, если вы используете ту же начальную точку. Вектор A + вектор B = вектор B + Veltor A
Шаг 3. Чтобы вычесть, добавьте к вектору отрицательный знак
Уменьшить векторы с помощью изображений очень просто. Поменяйте направление вектора на противоположное, но сохраните величину той же самой и сложите векторную голову и хвост, как обычно. Другими словами, чтобы вычесть вектор, поверните вектор на 180о и сложите.
Шаг 4. Если вы добавляете или вычитаете более двух векторов, объедините все векторы в порядке «голова к хвосту»
Порядок слияния значения не имеет. Этот метод можно использовать независимо от количества векторов.
Шаг 5. Нарисуйте новый вектор от хвоста первого вектора к голове последнего вектора
Независимо от того, добавляете ли вы / вычитаете два вектора или сотню, вектор, который простирается от вашей начальной начальной точки (хвоста первого вектора) до конечной точки вашего последнего вектора (голова вашего последнего вектора), является результирующим вектором. или сумма всех ваших векторов. Обратите внимание, что этот вектор в точности совпадает с вектором, полученным путем сложения всех компонентов x, y и / или z.
- Если вы нарисуете все свои векторы по размеру, правильно измерив все углы, вы можете определить величину результирующего вектора, измерив длину. Вы также можете измерить угол между полученным результатом и любым вектором по горизонтали или вертикали, чтобы определить его направление.
- Если вы не отрисуете все свои векторы по размеру, вам, возможно, придется вычислить величину результирующего с помощью тригонометрии. Может быть, вам помогут правила синуса и косинуса. Если вы добавляете более двух векторов, полезно добавить первый вектор ко второму, затем добавить результат второго к третьему и так далее. См. Следующие разделы для получения дополнительной информации.
Шаг 6. Нарисуйте получившийся вектор, используя его величину и направление
Вектор определяется его длиной и направлением. Как и выше, при условии, что вы нарисовали свой вектор точно, величина вашего нового вектора - это его длина, а его направление - это угол относительно вертикального или горизонтального направления. Используйте единичные векторы, которые вы добавляете или вычитаете, чтобы определить единицы для величины вашего результирующего вектора.
Например, если добавленные векторы представляют скорость в мс-1, то результирующий вектор можно определить как "скорость x мс-1 против тебя о в горизонтальном направлении.
Метод 3 из 3: сложение и вычитание векторов путем указания размерных компонентов вектора
Шаг 1. Используйте тригонометрию, чтобы определить компоненты вектора
Чтобы найти компоненты вектора, вам обычно нужно знать его величину и направление относительно горизонтального или вертикального направления и понимать тригонометрию. Предполагая двумерный вектор, сначала представьте свой вектор как гипотенузу прямоугольного треугольника, две стороны которого параллельны направлениям x и y. Эти две стороны можно рассматривать как компоненты вектора от головы к хвосту, которые в сумме образуют ваш вектор.
- Длины обеих сторон равны компонентам x и y вашего вектора и могут быть вычислены с помощью тригонометрии. Если x - величина вектора, сторона, примыкающая к углу вектора (относительно горизонтального, вертикального и других направлений), равна xcos (θ), а противоположная сторона xsin (θ).
- Также очень важно отметить направление ваших компонентов. Если компонент указывает на отрицательную координату, ему присваивается отрицательный знак. Например, в двумерной плоскости, если компонент указывает влево или вниз, он отрицательный.
- Например, предположим, что у нас есть вектор с величиной 3 и направлением 135.о относительно горизонтали. Имея эту информацию, мы можем определить, что компонент x равен 3cos (135) = - 2, 12 а компонента y равна 3sin (135) = 2, 12
Шаг 2. Добавьте или вычтите два или более связанных вектора
После того, как вы нашли компоненты всех ваших векторов, сложите их, чтобы найти компоненты вашего результирующего вектора. Сначала сложите все величины горизонтальных компонентов (которые параллельны направлению x). Отдельно сложите все величины вертикальных компонентов (которые параллельны направлению y). Если компонент отрицательный (-), его величина вычитается, а не добавляется. Ответ, который вы получите, - это компонент вашего результирующего вектора.
Например, вектор из предыдущего шага,, добавляется к вектору. В этом случае результирующий вектор становится или
Шаг 3. Вычислите величину результирующего вектора, используя теорему Пифагора
Теорема Пифагора c2= а2+ b2, используется для определения длины стороны прямоугольного треугольника. Поскольку треугольник, образованный нашим результирующим вектором и его компонентами, является прямоугольным, мы можем использовать его, чтобы найти длину и величину вектора. С c в качестве величины результирующего вектора, который вы ищете, предположим, что a - величина компонента x, а b - величина компонента y. Решить с помощью алгебры.
-
Чтобы найти величину вектора, компоненты которого мы искали на предыдущем шаге, используйте теорему Пифагора. Решите следующим образом:
- c2=(3, 66)2+(-6, 88)2
- c2=13, 40+47, 33
- с = √60, 73 = 7, 79
Шаг 4. Вычислите результирующее направление с помощью функции касания
Наконец, найдите результирующий вектор направления. Используйте формулу = загар-1(b / a), где - размер угла, образованного в x или горизонтальном направлении, b - размер компонента y, а a - размер компонента x.
-
Чтобы найти направление нашего вектора, используйте = tan-1(б / у).
- = загар-1(-6, 88/3, 66)
- = загар-1(-1, 88)
- = -61, 99о
Шаг 5. Нарисуйте получившийся вектор в соответствии с его величиной и направлением
Как написано выше, векторы определяются их величиной и направлением. Убедитесь, что вы используете соответствующие единицы для вашего векторного размера.
Например, если наш векторный пример представляет силу (в Ньютонах), то мы можем записать это "усилие 7,79 Н на -61,99 о в горизонтальное положение ".
подсказки
- Вектор отличается от большого.
- Векторы с одинаковым направлением можно складывать или вычитать, складывая или вычитая их величины. если ты подводить итоги два вектора, которые противоположны, их величины вычитаются, а не складываются.
- Векторы, представленные в форме x i + y j + z k, можно складывать или вычитать путем добавления или вычитания коэффициентов трех единичных векторов. Ответ также в форме i, j и k.
- Вы можете найти размер трехмерного вектора, используя формулу a2= b2+ c2+ d2 где a - величина вектора, а b, c и d - компоненты каждого направления.
- Векторы столбцов можно складывать и вычитать, добавляя или вычитая значения каждой строки.
