Студентов-математиков часто просят записать свои ответы в простейшей форме - другими словами, как можно более элегантно записать ответы. Хотя длинные, жесткие и короткие, а также элегантные уравнения технически представляют собой одно и то же, часто математическая задача не считается завершенной, если окончательный ответ не сводится к ее простейшей форме. Кроме того, ответ в его простейшей форме почти всегда является самым простым уравнением для работы. По этой причине умение упрощать уравнения является важным навыком для математиков.
Шаг
Метод 1 из 2: Использование последовательности операций
Шаг 1. Знайте порядок действий
При упрощении математических выражений вы не можете просто работать слева направо, умножая, добавляя, вычитая и т. Д. В порядке слева направо. Некоторые математические операции должны иметь приоритет над другими и выполняться первыми. Фактически, использование неправильного порядка действий может дать неправильный ответ. Порядок операций следующий: часть в скобках, показатель степени, умножение, деление, сложение и, наконец, вычитание. Вы можете запомнить аббревиатуру «Потому что мать не добрая, злая и бедная».
Обратите внимание, что хотя базовые знания порядка операций могут упростить самые основные уравнения, для упрощения многих уравнений с переменными, включая почти все многочлены, требуются специальные методы. Дополнительную информацию см. В следующем втором методе
Шаг 2. Начните с заполнения всех разделов в круглых скобках
В математике круглые скобки указывают, что внутренняя часть должна вычисляться отдельно от выражения, находящегося вне скобок. Независимо от того, какие операции заключены в круглые скобки, не забудьте сначала заполнить часть внутри скобок, когда вы пытаетесь упростить уравнение. Например, в скобках вы должны умножать перед сложением, вычитанием и т. Д.
-
Например, попробуем упростить уравнение 2x + 4 (5 + 2) + 32 - (3 + 4/2). В этом уравнении мы должны сначала решить часть, заключенную в скобки, а именно 5 + 2 и 3 + 4/2. 5 + 2 =
Шаг 7.. 3 + 4/2 = 3 + 2
Шаг 5
Часть во второй скобке упрощена до 5, потому что в соответствии с порядком операций мы сначала делим 4/2 в скобках. Если мы просто работаем слева направо, мы сначала складываем 3 и 4, а затем делим на 2, получая неправильный ответ 7/2
- Примечание. Если в скобках указано несколько скобок, заполните раздел в самой внутренней скобке, затем во второй самой внутренней и так далее.
Шаг 3. Решите показатель степени
После того, как вы закроете скобки, решите показатель степени вашего уравнения. Это легко запомнить, потому что в экспонентах число основания и степень степени находятся рядом друг с другом. Найдите ответ на каждую часть экспоненты, затем подставьте свой ответ в уравнение, чтобы заменить экспоненту.
После заполнения части в круглых скобках уравнение нашего примера теперь принимает вид 2x + 4 (7) + 32 - 5. Единственная экспонента в нашем примере - 32, что равно 9. Добавьте этот результат в уравнение, чтобы заменить 32 в результате получаем 2x + 4 (7) + 9-5.
Шаг 4. Решите задачу умножения в своем уравнении
Затем выполните любое умножение, необходимое в вашем уравнении. Помните, что умножение можно записать несколькими способами. Точка × или символ звездочки обозначают умножение. Однако число рядом с круглыми скобками или переменной (например, 4 (x)) также представляет собой умножение.
-
В нашей задаче умножение состоит из двух частей: 2x (2x равно 2 × x) и 4 (7). Мы не знаем значения x, поэтому оставим его равным 2x. 4 (7) = 4 × 7 =
Шаг 28.. Мы можем переписать наше уравнение в виде 2x + 28 + 9 - 5.
Шаг 5. Перейти к разделению
Когда вы ищете проблемы деления в своих уравнениях, имейте в виду, что, как и умножение, деление можно записать разными способами. Один из них является символом, но имейте в виду, что косые черты и дефисы, такие как дроби (например, 3/4), также указывают на деление.
Потому что мы уже сделали разделение (4/2), когда закончили детали в скобках. В нашем примере еще нет проблемы с делением, поэтому мы пропустим этот шаг. Это показывает важный момент - вам не нужно выполнять все операции при упрощении выражения, только операции, содержащиеся в вашей проблеме
Шаг 6. Затем добавьте все, что есть в вашем уравнении
Вы можете работать слева направо, но проще сначала сложить простые для сложения числа. Например, в задаче 49 + 29 + 51 + 71 проще сложить 49 + 51 = 100, 29 + 71 = 100 и 100 + 100 = 200, чем 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129. и 129 + 71 = 200.
Наш пример уравнения был частично упрощен до 2x + 28 + 9 - 5. Теперь нам нужно сложить числа, которые мы можем сложить - давайте рассмотрим каждую задачу сложения слева направо. Мы не можем сложить 2x и 28, потому что нам неизвестно значение x, поэтому мы просто пропустим его. 28 + 9 = 37, можно переписать как 2x + 37 - 5.
Шаг 7. Последний шаг в последовательности операций - вычитание
Продолжите задачу, решив оставшиеся задачи на вычитание. Вы можете думать о вычитании как о добавлении отрицательных чисел на этом этапе или использовать те же шаги, что и для обычной задачи сложения - ваш выбор не повлияет на ваш ответ.
-
В нашей задаче 2x + 37 - 5 есть только одна задача на вычитание. 37 - 5 =
Шаг 32.
Шаг 8. Проверьте свое уравнение
После решения с использованием порядка операций ваше уравнение должно быть упрощено до самой простой формы. Однако, если ваше уравнение содержит одну или несколько переменных, имейте в виду, что над вашими переменными работать не нужно. Чтобы упростить переменную, вы должны либо найти значение вашей переменной, либо использовать специальные методы для упрощения выражения (см. Шаг ниже).
Наш окончательный ответ - 2x + 32. Мы не можем решить это последнее сложение, если не знаем значение x, но если бы мы знали его значение, это уравнение было бы намного проще решить, чем наше длинное исходное уравнение
Метод 2 из 2: упрощение комплексных уравнений
Шаг 1. Сложите части с одинаковой переменной
При решении уравнений с переменными помните, что части, которые имеют одинаковую переменную и показатель степени (или одну и ту же переменную), можно складывать и вычитать, как обычные числа. Эта часть должна иметь такую же переменную и показатель степени. Например, можно добавить 7x и 5x, но 7x и 5x2 не суммируется.
- Это правило также применяется к некоторым переменным. Например, 2xy2 можно суммировать как -3xy2, но не суммируется на -3x2y или -3y2.
- См. Уравнение x2 + 3x + 6 - 8x. В этом уравнении мы можем сложить 3x и -8x, потому что они имеют одинаковую переменную и показатель степени. Простое уравнение принимает вид x2 - 5х + 6.
Шаг 2. Упростите дробные числа, разделив или вычеркнув множители
Дроби, в числителе и знаменателе которых есть только числа (без переменных), можно упростить несколькими способами. Первый и, возможно, самый простой - представить дробь как задачу деления и разделить знаменатель на числитель. Кроме того, любой коэффициент умножения, который появляется в числителе и знаменателе, можно вычеркнуть, потому что деление двух множителей дает число 1.
Например, посмотрите на дробь 36/60. Если у нас есть калькулятор, мы можем разделить его, чтобы получить ответ 0, 6. Однако, если у нас нет калькулятора, мы все равно можем упростить его, вычеркнув те же факторы. Другой способ представить 36/60 - (6 × 6) / (6 × 10). Эта дробь может быть записана как 6/6 × 6/10. 6/6 = 1, поэтому наша дробь на самом деле 1 × 6/10 = 6/10. Однако мы еще не закончили - и 6, и 10 имеют одинаковый коэффициент, равный 2. Если повторить описанный выше метод, результат будет следующим: 3/5.
Шаг 3. На дроби переменной вычеркните все множители переменной
Уравнения переменных в дробной форме имеют уникальный способ упрощения. Как и обычные дроби, переменные дроби позволяют исключить факторы, общие для числителя и знаменателя. Однако в переменных долях эти факторы могут быть числами и уравнениями фактической переменной.
- Скажем, уравнение (3x2 + 3x) / (- 3x2 + 15x). Эту дробь можно записать как (x + 1) (3x) / (3x) (5 - x), 3x фигурирует как в числителе, так и в знаменателе. Вычеркнув эти факторы из уравнения, результат станет (x + 1) / (5 - x). То же, что и в выражении (2x2 + 4x + 6) / 2, поскольку каждая часть делится на 2, мы можем записать уравнение как (2 (x2 + 2x + 3)) / 2, а затем упростить до x2 + 2х + 3.
- Обратите внимание, что вы не можете зачеркнуть все разделы - вы можете вычеркнуть только коэффициенты умножения, которые указаны в числителе и знаменателе. Например, в выражении (x (x + 2)) / x, x можно вычеркнуть как из числителя, так и из знаменателя, чтобы получилось (x + 2) / 1 = (x + 2). Однако (x + 2) / x нельзя перечеркнуть до 2/1 = 2.
Шаг 4. Умножьте часть в скобках на константу
При умножении части, содержащей переменную в скобках, на константу, иногда умножение каждой части в скобках на константу может привести к более простому уравнению. Это относится к константам, состоящим только из чисел, и константам, имеющим переменные.
- Например, уравнение 3 (x2 + 8) можно упростить до 3х2 + 24, тогда как 3x (x2 + 8) можно упростить до 3х3 + 24x.
- Обратите внимание, что в некоторых случаях, например, с переменными дробями, константы в круглых скобках могут быть зачеркнуты, поэтому их не нужно умножать на часть в скобках. В дробях (3 (x2 + 8)) / 3x, например, множитель 3 появляется как в числителе, так и в знаменателе, поэтому мы можем вычеркнуть его и упростить выражение до (x2 + 8) / х. С этим выражением проще работать, чем с (3x3 + 24x) / 3x, который мы получим, если умножим его.
Шаг 5. Упростите факторинг
Факторинг - это метод, который можно использовать для упрощения некоторых выражений переменных, включая полиномы. Думайте о факторизации как о противоположности умножения на часть в скобках на предыдущем шаге - иногда выражение можно рассматривать как две части, умножаемые друг на друга, а не как единое выражение. Это особенно верно, если факторизация уравнения позволяет вычеркнуть одну из его частей (как в дробях). В некоторых случаях (часто с квадратными уравнениями) факторинг может даже позволить вам найти решение уравнения.
- Снова допустим выражение x2 - 5x + 6. Это выражение можно разложить на множители (x - 3) (x - 2). Итак, если x2 - 5x + 6 - числитель данного уравнения, в знаменателе которого есть один из этих множителей, как в выражении (x2 - 5x + 6) / (2 (x - 2)), мы могли бы записать его в форме множителя, чтобы мы могли вычеркнуть множитель со знаменателем. Другими словами, в (x - 3) (x - 2) / (2 (x - 2)) часть (x - 2) может быть вычеркнута как (x - 3) / 2.
-
Как указывалось выше, еще одна причина, по которой вы можете захотеть факторизовать свои уравнения, заключается в том, что факторинг может дать вам ответы на определенные уравнения, особенно если они записаны как равные 0. Например, уравнение x2 - 5x + 6 = 0. Факторинг дает (x - 3) (x - 2) = 0. Поскольку любое число, умноженное на ноль, равно нулю, мы знаем, что если любая часть круглых скобок равна нулю, все уравнение слева от знак равенства также равен нулю. Так что
Шаг 3. да
Шаг 2. это два ответа на уравнение.
