Скорость определяется как скорость объекта в определенном направлении. Во многих ситуациях, чтобы найти скорость, мы можем использовать уравнение v = s / t, где v равно скорости, s равно общему расстоянию, на которое объект переместился от своего начального положения, а t равно времени. Однако этот метод дает только «среднее» значение скорости объекта по его перемещению. Используя математический анализ, вы можете рассчитать скорость объекта в любой точке его перемещения. Это значение называется «мгновенной скоростью» и может быть рассчитано по уравнению v = (ds) / (dt), или, другими словами, является производной уравнения для средней скорости объекта.
Шаг
Метод 1 из 3: Расчет мгновенной скорости
Шаг 1. Начнем с уравнения скорости перемещения объекта
Чтобы получить значение мгновенной скорости объекта, мы должны сначала иметь уравнение, описывающее его положение (с точки зрения смещения) в данный момент времени. Это означает, что уравнение должно иметь переменную s (который стоит отдельно) с одной стороны, и т с другой стороны (но не обязательно автономно), например:
s = -1,5 т2+ 10т + 4
-
В уравнении переменные:
-
-
Смещение = s. Это расстояние, которое объект проходит от начальной точки. Например, если объект перемещается на 10 метров вперед и 7 метров назад, то общее пройденное расстояние составляет 10-7 = 3 метра (не 10 + 7 = 17 метров).
-
Время = t. Эта переменная не требует пояснений. Обычно выражается в секундах. # Возьмите производную уравнения. Производная уравнения - это еще одно уравнение, которое может дать значение наклона от определенной точки. Чтобы найти производную формулы смещения объекта, выведите функцию, используя следующее общее правило: Если y = a * x , Производная = a * n * xп-1. Это правило применяется к любому компоненту, который находится на стороне «t» уравнения.
Расчет мгновенной скорости Шаг 2
-
-
- Другими словами, начните с убывания стороны «t» в уравнении слева направо. Каждый раз, когда вы достигнете значения «t», вычтите 1 из значения показателя степени и умножьте целое на исходное значение показателя степени. Любые константы (переменные, не содержащие "t") будут потеряны, потому что они умножены на 0. Этот процесс не так сложен, как можно было бы подумать, давайте выведем уравнение на шаге выше в качестве примера:
s = -1,5 т2+ 10т + 4
(2) -1,5 т(2-1)+ (1) 10 т1 - 1 + (0) 4 т0
-3т1 + 10т0
- 3т + 10
Шаг 2. Замените переменную «s» на «ds / dt»
«Чтобы показать, что ваше новое уравнение является производной от предыдущего уравнения, замените« s »на« ds / dt ». Технически это обозначение означает« производную s по t ». Более простой способ понять это - ds / dt - значение уклона (уклона) в любой точке в первом уравнении, например, для определения наклона линии, проведенной из уравнения s = -1,5t.2 + 10t + 4 при t = 5, мы можем подставить значение «5» в уравнение производной.
- В используемом примере уравнение для первой производной теперь будет выглядеть так:
дс / сек = -3t + 10
Шаг 3. Подставьте значение t в новое уравнение, чтобы получить мгновенное значение скорости
Теперь, когда у вас есть производное уравнение, легко найти мгновенную скорость в любой точке. Все, что вам нужно сделать, это выбрать значение t и подставить его в уравнение производной. Например, если вы хотите найти мгновенную скорость при t = 5, вы можете заменить значение t на «5» в уравнении производной ds / dt = -3 + 10. Затем решите уравнение следующим образом:
дс / сек = -3t + 10
дс / сек = -3 (5) + 10
дс / сек = -15 + 10 = - 5 метров / сек
Обратите внимание, что использованная выше единица измерения - «метр / секунда». Поскольку мы вычисляем смещение в метрах и время в секундах (секундах), а скорость в целом - это смещение за определенное время, эта единица измерения подходит для использования
Метод 2 из 3: графическая оценка мгновенной скорости
Шаг 1. Нарисуйте график перемещения объекта во времени
В приведенном выше разделе производная упоминается как формула для нахождения наклона в заданной точке для уравнения, которое вы выводите. Фактически, если вы представляете смещение объекта в виде линии на графике, «наклон линии во всех точках равен значению его мгновенной скорости в этой точке».
- Чтобы описать смещение объекта, используйте x для обозначения времени и y для представления смещения. Затем нарисуйте точки, подставив значение t в ваше уравнение, получив таким образом значение s для вашего графика, отметьте t, s на графике как (x, y).
- Обратите внимание, что ваш график может располагаться ниже оси абсцисс. Если линия, представляющая движение вашего объекта, опускается ниже оси x, это означает, что объект переместился назад из своего исходного положения. В общем, ваш график не дойдет до задней части оси Y - потому что мы не измеряем скорость объекта, движущегося мимо!
Шаг 2. Выберите соседние точки P и Q на линии
Чтобы получить наклон линии в точке P, мы можем использовать прием под названием «взятие предела». Принятие предела включает две точки (P и Q, точка рядом) на изогнутой линии и определение наклона линии, соединяя их много раз, пока расстояния P и Q не станут ближе.
Допустим, линия смещения объекта содержит значения (1, 3) и (4, 7). В этом случае, если мы хотим найти наклон в точке (1, 3), мы можем определить (1, 3) = P а также (4, 7) = Q.
Шаг 3. Найдите наклон между P и Q
Наклон между P и Q - это разница значений y для P и Q вдоль разницы значений по оси x для P и Q. Другими словами, H = (yQ - уп)/(ИксQ - Иксп), где H - наклон между двумя точками. В нашем примере значение крутизны между P и Q равно
H = (yQ- уп)/(ИксQ- Иксп)
H = (7 - 3) / (4 - 1)
H = (4) / (3) = 1.33
Шаг 4. Повторите несколько раз, перемещая Q ближе к P
Ваша цель - уменьшить расстояние между P и Q, чтобы оно походило на точку. Чем ближе расстояние между P и Q, тем ближе наклон линии в точке P. Сделайте это несколько раз с уравнением, используемым в качестве примера, используя точки (2, 4.8), (1.5, 3.95) и (1.25, 3.49) как Q и начальная точка (1, 3) как P:
Q = (2, 4.8):
H = (4,8 - 3) / (2 - 1)
H = (1,8) / (1) = 1.8
Q = (1,5; 3,95):
H = (3,95 - 3) / (1,5 - 1)
H = (0,95) / (. 5) = 1.9
Q = (1,25; 3,49):
H = (3,49 - 3) / (1,25 - 1)
H = (0,49) / (0,25) = 1.96
Шаг 5. Оцените наклон линии для очень небольшого расстояния
По мере приближения Q к P, H становится все ближе и ближе к значению наклона точки P. В конце концов, когда он достигает очень малого значения, H становится равным наклону P. Поскольку мы не можем измерить или вычислить очень маленькие расстояния, мы можем оценить наклон на P только после того, как он станет ясным с той точки, в которой мы пытаемся.
- В этом примере, когда мы приближаем Q к P, мы получаем значения 1,8, 1,9 и 1,96 для H. Поскольку эти числа близки к 2, мы можем сказать, что 2 - это приблизительный наклон P.
- Помните, что наклон в любой заданной точке линии равен производной уравнения линии. Поскольку используемая линия показывает смещение объекта во времени, и поскольку, как мы видели в предыдущем разделе, мгновенная скорость объекта является производной от его смещения в данной точке, мы также можем заявить, что «2 метра в секунду "- приблизительное значение мгновенной скорости при t = 1.
Метод 3 из 3: Примеры вопросов
Шаг 1. Найдите значение мгновенной скорости при t = 4 из уравнения перемещения s = 5t.3 - 3т2 + 2т + 9.
Эта задача такая же, как и в примере из первой части, за исключением того, что это уравнение является уравнением куба, а не уравнением мощности, поэтому мы можем решить эту проблему таким же образом.
- Сначала возьмем производную уравнения:
- Затем введите значение t (4):
s = 5 т3- 3т2+ 2т + 9
s = (3) 5t(3 - 1) - (2) 3 т(2 - 1) + (1) 2т(1 - 1) + (0) 9 т0 - 1
15т(2) - 6т(1) + 2т(0)
15т(2) - 6т + 2
s = 15 т(2)- 6т + 2
15(4)(2)- 6(4) + 2
15(16) - 6(4) + 2
240 - 24 + 2 = 22 м / сек
Шаг 2. Используйте графическую оценку, чтобы найти мгновенную скорость в точке (1, 3) для уравнения перемещения s = 4t.2 - т.
Для этой задачи мы будем использовать (1, 3) как точку P, но мы должны определить другую точку, смежную с этой точкой, как точку Q. Затем нам просто нужно определить значение H и сделать оценку.
- Сначала найдите значение Q при t = 2, 1,5, 1,1 и 1,01.
- Затем определите значение H:
- Поскольку значение H очень близко к 7, мы можем утверждать, что 7 метров в секунду- приблизительная мгновенная скорость в точке (1, 3).
s = 4t2- т
t = 2:
s = 4 (2)2- (2)
4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, поэтому Q = (2, 14)
t = 1,5:
s = 4 (1,5)2 - (1.5)
4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, поэтому Q = (1,5, 7,5)
t = 1,1:
s = 4 (1,1)2 - (1.1)
4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, поэтому Q = (1,1, 3,74)
t = 1,01:
s = 4 (1,01)2 - (1.01)
4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, поэтому Q = (1,01; 3,0704)
Q = (2, 14):
H = (14 - 3) / (2 - 1)
H = (11) / (1) =
Шаг 11.
Q = (1,5, 7,5):
H = (7,5 - 3) / (1,5 - 1)
H = (4,5) / (. 5) =
Шаг 9.
Q = (1,1, 3,74):
H = (3,74 - 3) / (1,1 - 1)
H = (0,74) / (. 1) = 7.3
Q = (1.01, 3.0704):
H = (3,0704 - 3) / (1,01 - 1)
H = (0,0704) / (0,01) = 7.04
подсказки
- Чтобы найти значение ускорения (изменение скорости во времени), используйте метод, описанный в первом разделе, чтобы получить уравнение для производной функции смещения. Затем снова создайте производное уравнение, на этот раз из полученного уравнения. Это даст вам уравнение для определения ускорения в любой момент времени. Все, что вам нужно сделать, это ввести значение времени.
- Уравнение, связывающее значение Y (смещение) с X (время), может быть очень простым, например Y = 6x + 3. В этом случае значение наклона является постоянным, и нет необходимости находить производную для его вычисления., где согласно уравнению прямой Y = mx + b будет равно 6.
- Смещение похоже на расстояние, но имеет направление, поэтому смещение является векторной величиной, а расстояние - скалярной величиной. Значение смещения может быть отрицательным, но расстояние всегда будет положительным.
